Question

Z cyfr 0,1,2,4,7,9 tworzymy liczby sześciocyfrowe o niepowtarzających się cyfrach. Oblicz ile jest wśród nich: a) mniejszych niż 452310 b) podzielnych przez 4

Answer 1

a)

Liczby mniejsze od danej to takie, które mają mniejszy początek, albo przy jednakowym początku mają mniejszy dalszy ciąg.

Czyli, ponieważ wśród dostępnych cyfr nie mamy 5 ani 3, mniejsze będą liczby zaczynające się na 42, 41, 40 oraz na 2 i a 1 (liczby sześciocyfrowe nie mogą zaczynać się od 0)

Ilość liczb mniejszych od 452310 utworzonych z cyfr {0,1,2,4,7,9} to:

zaczynające się na 42_ _ _ _:   4·3·2·1 = 24

zaczynające się na 41_ _ _ _ :   4·3·2·1 = 24

zaczynające się na 40_ _ _ _ :   4·3·2·1 = 24

zaczynające się na 2_ _ _ _ _:   5·4·3·2·1 = 120

zaczynające się na 1_ _ _ _ _ :   5·4·3·2·1 = 120

Razem:

          3·4·3·2·1 + 2·5·4·3·2·1 = 3·24 + 2·120 = 72 + 240 = 312

b)

Liczby podzielne przez 4, to takie, których ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

Z dostępnych cyfr możemy utworzyć 6 liczb dwucyfrowych podzielnych przez 4 o niepowtarzających się cyfrach:  12, 20, 24, 40, 72, 92 oraz 04.

Ponieważ na pierwszą cyfrę liczby dwucyfrowej nie możemy wybrać 0, a w końcówce podzielnej przez 4  występuje lub nie, musimy rozważyć dwa przypadki:

1°  Ostatnie dwie cyfry to: 20, 40 lub 04, czyli trzy możliwości.

Pozostałe 4 cyfry liczby możemy wybrać dowolnie z 4 dostępnych, czyli na 4·3·2·1 sposobów, więc liczb mających końcówkę 20, 40 lub 04 jest:

3·4·3·2·1 = 72

2°  Ostatnie dwie cyfry to: 12, 24, 72 lub 92, czyli cztery możliwości.

Pierwszą cyfrą liczby sześciocyfrowej nie może być 0, czyli zostają nam do wyboru 3 możliwe cyfry. Po wykorzystaniu trzech cyfr (dwie na końcówkę i jedna na pierwszą cyfrę) zostały nam 3 cyfry na obsadzenie 3 miejsc, czyli możemy to zrobić na 3·2·1 sposobów, więc liczb mających końcówkę 12, 24, 72 lub 92 jest:      

4·3·3·2·1 = 72

Razem:

            3·4·3·2·1 + 4·3·3·2·1 = 72 + 72 = 144