Question

Rozwiąż równania:
(a) xy − 6 = 2y + 5x dla
x, y ∈ N,
(b) 3xy − 6 = 2y + 5x dla x, y ∈ N,
(c) 1 /x + 1 /y + 1/ z = 2 dla x, y, z ∈ N,
(d) 3y + 4x = 12 + xy dla x, y ∈ Z.

Answer 1

X, y ∈ N
a)
xy - 6 = 2y + 5x
xy - 2y = 5x + 6
y*(x -2) = 5x + 6
y = (5x +6)/(x -2) = [5*(x -2) +16]/(x -2) = 5 + 16/(x -2)
x -2 musi być dzielnikiem naturalnym liczby 16, czyli
x -2 = 1 --> x = 3 ; y = 5 + 16 = 21
x - 2 = 2 --> x = 4; y = 5 + 16/2 = 5 + 8 = 13
x - 2 = 4 --> x = 6; y = 5 + 16/4 = 5 + 4 = 9
x - 2 = 8 --> x = 10 ; y = 5 + 16/8 = 5 + 2 = 7
x - 2 = 16 --> x = 18; y = 5 + 16/16 = 5 + 1 = 6
Odp. Pary liczb są rozwiązaniami równania:
(3;21), (4; 13),(6; 9),(10; 7), (18; 6)
======================================
b)
x, y ∈ N
3xy - 6 = 2y + 5x
3xy - 2y = 5x +6
y*(3x - 2) = 5x + 6
y = (5x +6)/ (3x -2) = [5(x-2) +16]/[3(x -2) + 4] =
= [ 5 + 16/(x -2)]/ [3 + 4/(x-2)]
x-2 musi być dzielnikiem liczby 4, zatem
x -2 = 1 --> x = 3
x -2 = 2 --> x = 4
x -2 = 4 --> x = 6
Obliczamy y:
x = 3 ; to y = [5+16]/[3 +4] = 21/7 = 3
x = 4; to y = [5 + 8]/[3 + 2] = 13/5 - odpada
x = 6; to y = [5 +4]/[3 +1] = 9/4 - odpada
Odp. x = 3 , y = 3
==============================================
c)
x,y,z ∈ N
1/x = 1/y + 1/z = 2
założenie x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0
Mnożymy obustronnie przez x*y*z
yz + xz + xy = 2xyz
yz + xz = 2 xyz - xy
( y +x) z = xy*(2z - 1)
(x + y) z = xy*(2z - 1)
(x +y)/(xy) = (2z - 1)/ z
(x + y) / (xy) = 2 - 1/z
z musi być równe 1
wtedy mamy
(x +y)/(xy) = 2 - 1 = 1
x +y = xy
y - xy = -x
y( 1 - x) = - x
y = -x /(1 -x) = -x/ [-(x -1)] = x/(x -1)
x musi być równe 2
ale wtedy y = 2/(2 -1) = 2
Mamy zatem x = 2, y = 2 , z =1
Ze względu na symetryczność wyrażenia mamy jeszcze 2 inne
rozwiązania:
Odp.:(2,2,1),(2,1,2), (1,2,2)
=====================================
d)
x,y ∈ Z ( liczby całkowite )
3y + 4x = 12 + xy
3y - xy = 12 - 4x
y*(3 - x) = 12 - 4x
y = (12 - 4x)/(3 - x) = [4*(3 - x)]/(3 -x) = 4 , dla x ≠ 3
zatem rozwiązaniami równania są pary liczb postaci (x ; 4)
gdzie x ∈ Z i x ≠ 3.
np.
..., ( -2;4),(-1;4),(0;4),(1;4),(2;4),(4;4), ....
====================================================