Question

Cuantas rectas tangentes a la curva y=x/(x+1) pasan por el punto (1,2). en que puntos toca a la curva

Answer 1

Hallemos la pendiente (m) de la curva x/(x+1) en cualquier punto:
Sea:
y= x/(x+1)
y' = 1/(x+1)²
m= 1/(x+1)² = 1/(x²+2x+1)

Ecuación de la recta:
y= mx +b
Sean los puntos:
(1,2) --- (x, x/(x+1))                      
El punto (x, x/(x+1)) simboliza el punto de corte de la gráfica con la recta.  

entonces hallemos b:
2 = 1/(x+1)² + b

2(x²+2x+1)-1 /(x+1)² = b
(2x² + 4x +1)/ (x+1)² = b

Ecuación de la recta: y= x/(x+1)² + (2x² + 4x +1)/ (x+1)² 
y= (2x² + 5x +1)/(x+1)²

Evaluamos en el punto (x, x/(x+1))
x/(x+1)= (2x² + 5x +1)/(x+1)²
x= (2x² + 5x +1)/(x+1)
x² + x = 2x² + 5x +1
0= x² + 4x + 1

Obtenemos una ecuación cuadrática con discriminante mayor a 0, esto indica que el problema tiene 2 soluciones.
resolviendo:
0= x² + 4x + 1
(x+2)² = 3
x= √3 -2
x= -√3-2

Para hallar los puntos, evalúas la función en los puntos obtenidos.