Question

Ekstremum funkcji:
a)x -1/x

b)x³/(x-1)²

Answer 1

Żeby istniało ekstremum to właściwie musi istnieć liczba (ograniczenie) taka, żeby wykres jej nie przekraczał... załóżmy więc, że istnieje ograniczenie górne - wtedy istnieje liczba M taka, że (x - 1/x) < M
sprawdźmy:
x - 1/x <M

co by się stało gdybym za x przyjął M² ? Wtedy:
M² - 1/M² < M ||*M²
M⁴ - 1 < M²
-1 < M²-M⁴

wystarczy przyjąć M²>2, a pokażemy że założenie było błędne - czyli funkcja nie ma liczby, której by nie przekraczała - to też nie ma ekstremum górnego. Podobnie można wykazać brak ekstremum dolnego (minimum) - co potwierdza też rysunek funkcji f(x) = x - 1/x:
http://i45.tinypic.com/eslvmu.jpg

b) Tutaj również nie będzie ekstremum funkcji:
http://i50.tinypic.com/eaiqlg.jpg

udowodnię to dla maksimum:
jeśli istniałoby maksimum tej funkcji to istniała by liczba M, którą wartości funkcji by nie przekraczały:
x³/(x-1)² < M

przyjmijmy x=M²:
(M²)³/(M²-1)² < M
M⁶/(M⁴-2M²+1) < M ||*(M⁴-2M²+1)
M⁶ < M*(M⁴-2M²+1) ||:M
M⁵ < M⁴-2M²+1
M⁵+2M² < M⁴+1

wystarczy przyjąć M>2 - co znowu pokazuje, że żadna liczba M∈R nie może być ograniczeniem górnym, a więc nie istnieje ekstremum górne.