Wyznacz wyraz ogólny ciągu (an), którego suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem:a) Sn = 4(2n .... Question from @SoulStaelker

Roma

$S_n = 4 \cdot (2n - 1) = 8n - 4 \\\\ a_1 = S_1 = 8 \cdot 1 - 4 = 8 - 4 = 4 \\\\ S_{n-1} = 8 \cdot (n- 1) - 4 = 8n - 8 - 4 = 8n - 12 \\\\ a_n = S_n - S_{n - 1} \ dla \ n \geq 2 \\\ Zatem: \\\ a_n = 8n - 4 - (8n - 12) = 8n - 4 - 8n + 12 = 8$

Stąd:

$a_1 = 4 \\\ a_n = 8 \ dla \ n \geq 2$

Sprawdzamy czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym:

$a_n = 8 \\\ a_{n+1} = 8 \\\ r = a_{n+1} - a_n = 8 - 8 = 0$

$a_1 = 4, \ r = 0 \\\\ a_n = 8 \ dla \ n \geq 2, \ czyli \ a_2 = 8 \\\\ a_2 = a_1 + r = 4 + 0 = 4 \neq 8$

Zatem ciąg (an) nie jest ciągiem arytmetycznym.

Spr.

$a_1 = 4; \ a_n = 8 \\\\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{4 + 8}{2} \cdot n =\frac{12}{2} \cdot n = 6 \cdot n = 6n \neq 8n-4$

Odp. Ciąg (an) nie jest ciągiem arytmetycznym.

$Sn = 4n^2 \\\\ a_1 = S_1 = 4 \cdot 1^2 =4 \cdot 1 = 4 \\\\ S_{n-1} = 4 \cdot (n- 1)^2 = 4 \cdot (n^2 - 2n + 1) = 4n^2 - 8n + 4\\\\ a_n = S_n - S_{n - 1} \ dla \ n \geq 2 \\\ Zatem: \\\ a_n = 4n^2 - (4n^2 - 8n + 4) = 4n^2 - 4n^2 + 8n - 4 = 8n -4$

Stąd:

$a_1 = 4 \\\ a_n = 8n-4 \ dla \ n \geq 2$

Sprawdzamy czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym:

$a_n = 8n-4 \\\ a_{n+1} = 8 \cdot (n +1) - 4 = 8n + 8 - 4 = 8n+4 \\\ r = a_{n+1} - a_n = 8n +4 - (8n - 4) = 8n +4 - 8n + 4 = 8$

$a_1 = 4, \ r = 8 \\\\ a_n = 8n-4 \ dla \ n \geq 2, \ czyli \ a_2 = 8 \cdot 2 - 4 = 16 - 4 = 12 \\\\ a_2 = a_1 + r = 4 + 8 = 12$

Zatem ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, a wyraz ogólny ma wzór:

$a_n = 8n-4$

Spr.

$a_1 = 4; \ a_n = 8n-4 \\\\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{4 + 8n - 4}{2} \cdot n =\frac{8n}{2} \cdot n = 4n \cdot n = 4n^2$

Odp. Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o wyrazie ogólnym:

$a_n = 8n-4$

$Sn = n^2 + 7n \\\\ a_1 = S_1 = 1^2 + 7 \cdot 1=1 + 7 = 8 \\\\ S_{n-1} = (n- 1)^2 + 7 \cdot (n-1)= n^2 - 2n + 1 + 7n - 7 = \\\ = n^2 +5n -6 \\\\ a_n = S_n - S_{n - 1} \ dla \ n \geq 2 \\\ Zatem: \\\ a_n = n^2 + 7n - (n^2 +5n -6) = n^2 + 7n - n^2 -5n +6 = 2n + 6$

Stąd:

$a_1 = 8 \\\ a_n = 2n+ 6 \ dla \ n \geq 2$

Sprawdzamy czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym:

$a_n = 2n+6 \\\ a_{n+1} = 2\cdot (n +1) +6= 2n + 2 +6 = 2n+8 \\\ r = a_{n+1} - a_n = 2n+8 - (2n+6) = 2n+8 - 2n-6 =2$

$a_1 = 8, \ r = 2 \\\\ a_n = 2n+6 \ dla \ n \geq 2, \ czyli \ a_2 = 2 \cdot 2 +6 = 4+6 = 10 \\\\ a_2 = a_1 + r = 8 + 2 = 10$

Zatem ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, a wyraz ogólny ma wzór:

$a_n = 2n+6$

Spr.

$a_1 = 8; \ a_n = 2n+6 \\\\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{8 + 2n+6}{2} \cdot n =\frac{2n+14}{2} \cdot n =\frac{2 \cdot(n+7)}{2} \cdot n = \\\\ = (n + 7) \cdot n = n^2 + 7n$

Odp. Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o wyrazie ogólnym:

$a_n = 2n+6$

25 votes Thanks 39

chadohyun Nareszcie ktoś to rozwiązał tak jak powinno się rozwiązywać.

555n555 skąd wiadomo że an +1 to 8?

Roma W przykładzie a) z obliczeń mamy, że a_n = 8, czyli każdy wyraz tego ciągu, oprócz pierwszego, jest równy 8, wiec a_(n+1) również jest równe 8

Zadanie w załączniku.

Zadania w załączniku.

Zadania w załączniku.

Zadania w załączniku.

Zadania w załączniku.

Zadania w załączniku.

Zadania w załączniku.

Zadania w załączniku.

Zadania w załączniku.

Zadanie w załączniku.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social