Wyznacz równanie prostych zawierających boki trójkąta ABC. Czy trójkąt ten jest prostokątny? a) A(-2,0) , B(0,-4),C(4,-2) b)A(-5,1) ,B(-3,-2), C(1,1).
Wyznacz równanie prostych zawierających boki trójkąta ABC. Czy trójkąt ten jest prostokątny? a) A(-2,0) , B(0,-4),C(4,-2) b)A(-5,1) ,B(-3,-2), C(1,1).
Dane są dwie proste w postaciach kierunkowych:
y=a₁x+b₁
y=a₂x+b₂
proste te są prostopadłe wtw, gdy spełniony jest warunek:
a₂=-1/a₁ => a₁*a₂=-1
========================================
a) A(-2,0) , B(0,-4), C(4,-2)
-- prosta AB:
{0=-2a+b
{-4=0*a+b
---
{b=2a
{b=-4
---
{2a=-4
{b=-4
---
{a=-2
{b=-4
Równanie prostej AC: y=-2x-4
-------------
-- prosta BC:
{-4=0*a+b
{-2=4a+b
---
{b=-4
{-2=4a-4
---
{b=-4
{4a=2
---
{b=-4
{a=1/2
Rónanie prostej BC: y=x/2 - 4
-------------
-- prosta AC:
{0=-2a+b
{-2=4a+b
---
{b=2a
{-2=4a+2a
---
{b=2a
{6a=-2
---
{b=2a
{a=-1/3
---
{b=-2/3
{a=-1/3
Równanie prostej AC: y=-x/3 - 1/3
---------------------------------------
Sprawdzam czy trójkąt jest prostokątny:
-- czy prosta AB prostopadła do AC:
AB: y=-2x-4 => a₁=-2
AC: y=-x/3 - 1/3 => a₂=-1/3
a₁*a₂=-1
-2*(-1/3)≠-1
2/3≠-1
-- czy prosta AB prostopadła do BC:
AB: y=-2x-4 => a₁=-2
BC: y=x/2 - 4 => a₂=1/2
a₁*a₂=-1
-2* 1/2=-1
-1=-1
Prosta AB jest prostopadła do BC, stąd trójkąt ABC jest prostokątny.
================================================
b) A(-5,1) ,B(-3,-2), C(1,1)
-- prosta AB:
{1=-5a+b
{-2=-3a+b
---
{b=1+5a
{-2=-3a+1+5a
---
{b=1+5a
{2a=-3
---
{b=1+5a
{a=-3/2
---
{b=1 - 15/2a
{a=-3/2
---
{b=-13/2
{a=-3/2
Równanie prostej AB: y=-3/2 x -13/2
-------------
-- prosta BC:
{-2=-3a+b
{1=a+b
---
{b=3a-2
{1=a+3a-2
---
{b=3a-2
{4a=3
---
{b=3a-2
{a=3/4
---
{b=9/4 - 2
{a=3/4
--- {b=1/4{a=3/4
Rónanie prostej BC: y=3/4 x + 1/4-------------
-- prosta AC:
{1=-5a+b
{1=a+b
---
{b=1+5a
{1=a+1+5a
---
{b=1+5a
{6a=0
---
{b=1
{a=0
Równanie prostej AC: y=1
---------------------------------------
Sprawdzam czy trójkąt jest prostokątny:
-- czy prosta AB prostopadła do BC:
AB: y=-3/2 x - 13/2 => a₁=-3/2
AC: y=3/4 x + 1/4 => a₂=3/4
a₁*a₂=-1
-3/2 * 3/4≠-1
-9/8≠-1
-- czy prosta AB prostopadła do AC:
AB: y=-3/2 x -13/2 => a₁=-3/2
AC: y=1 => a₂=0
a₁*a₂=-1
-3/2 * 0≠-1
0≠-1
-- czy prosta AC prostopadła do BC:
AC: y=1 => a₁=0
BC: y=3/4 x + 1/4 => a₂=3/4
a₁*a₂=-1
0* 3/4≠-1
0≠-1
Trójkąt ABC nie jest prostokątny.