Question

Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciagu arytmetycznego , jeśli ;

a) a3+a5 =24 i a3 *a5 =135

b) a9-a6 = =21 i a9*a6 = 2146

Answer 1

a)

a3 + a5 = 24

a3 * a5 = 135

więc po skorzystaniu z wzoru  an = a1 +( n -1)*r  mamy

( a1 +  2 r) + ( a1 + 4 r) = 24

( a1 + 2 r)*( a1 + 4r) = 135

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2 a1 + 6 r = 24  / : 2

a1 = 12 - 3 r

---------------

( 12 - 3r + 2 r)*( 12 - 3 r + 4 r) = 135

( 12 - r )*( 12 + r) = 135

144 - r^2 = 135

r^2 = 144 - 135 = 9

r = - 3  lub   r  = 3

--------------------------

oraz

a1 = 12 - 3*( -3) = 12 + 9 = 21       lub    a1 = 12 - 3*3 = 12 - 9  = 3

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Odp.

a1 = 21   i    r = -3      lub   a1 = 3   i     r = 3

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b)

a9 - a6 = 21

a9* a6 = 2 146

więc

( a1 + 8 r) - ( a1 + 5 r) = 21

( a1 + 8r)*( a1 + 5r) = 2 146

-----------

3 r = 21

r = 7

====

( a1 + 8*7)*( a1 + 5*7) = 2 146

( a1 + 56) *( a1 + 35) = 2 146

(a1)^2 + 35 a1 + 56 a1 + 1 960 = 2 146

(a1)^2 + 91 a1 - 186 = 0

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delta = 91^2 - 4*1*( - 186) = 8 281 + 744 = 9 025

p ( delty) = 95

a1 = ( - 91 - 95)/ 2 = - 93          lub    a1 = ( - 91 + 95) / 2 = 2

Odp.  a1 =  - 93  i  r = 7         lub  a1 = 2   i    r = 7

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Answer 2

A)
a3+a5=24
a3*a5=135
a1+2r+a1+4r=24
2a1+6r=24. / :2
a1+3r=12
a1=12-3r

(a1+2r)*(a1+4r)=135
(12-3r+2r)*(12-3r+4r)=135
(12-r)*(12+r)=135
144+12r-12r-r^2=135
-r^2=-9
r^2=9
r=+-3
a1=21 r=-3 lub a1=3 r=3

b)
a9-a6=21
a9*a6=2146

a1+8r-(a1+5r)=21
a1+8r-a1-5r=21
3r=21 / :3
r=7

(a1+8r)*(a1+5r)=2146
(a1+56)*(a1+35)=2146
a1^2+35a1+56a1+1960=2146
a1^2+91a1-186=0
delta=8281-4*1*(-186)=8281+744=9025
pierwiastek z delty = 95

a1=-35-95/2=-65
a2=-35+95/2=30

a1=-65 r=3 lub a1=30 r= 3

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