Question

Wyznacz parametr m tak aby proste k i l o równaniach k: 2x-3y+4=0 i l: y = (2m - 3)x + 6 były:
a) równoległe
b) prostopadłe

Answer 1

Aby proste k i l były równoległe, muszą mieć takie same współczynniki przy x i y. Zauważmy, że równanie prostej k ma współczynnik nachylenia równy -2/3, ponieważ jest on równy współczynnikowi przy x, podzielonemu przez -1 pomnożone przez współczynnik przy y. Zatem, aby równanie prostej l miało ten sam współczynnik nachylenia, musi być postaci y = (-2/3)x + b dla pewnego b. Aby to osiągnąć, musimy wyznaczyć wartość b. Podstawiając do równania l współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta k, tj. (2, 2m-6), otrzymujemy:

2m - 6 = (-2/3)*2 + b

2m - 6 = -4/3 + b

2m = -4/3 + b + 6

2m = 14/3 + b

b = 2m - 14/3

Zatem równanie prostej l dla równoległej do k prostej to y = (-2/3)x + 2m - 14/3.

Aby proste k i l były prostopadłe, ich współczynniki nachylenia muszą być wzajemnie odwrotne i przeciwnie znakowane. Zauważmy, że współczynnik nachylenia prostej k wynosi -2/3, zatem współczynnik nachylenia prostej l musi wynosić 3/2. Mamy więc:

2m - 3 = 3/2

2m = 3/2 + 3

2m = 9/2

m = 9/4

Zatem równanie prostej l dla prostopadłej do k prostej to y = (3/2)x + 6.