Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m.... Question from @Odii

December 2018 1 25 Report

Wyznacz liczbę rozwiązań równania $\frac{x+2}{x^{2}+1} =m$ w zależności od parametru m.

Undead22 Mamy dane równanie:

$\frac{x+2}{x^2+1} =m$

Zauważmy, że mianownik ułamka będzie zawsze dodatni, gdyż każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna, a powiększona o 1 jest dodatnia.

$x\in R\\
 \frac{x+2}{x^2+1} =m\\
m(x^2+1)=x+2\\
mx^2+m=x+2\\
mx^2-x+m-2=0$

Doszliśmy więc do równania kwadratowego. Najpierw sprawdzimy, co dzieje się, gdy $m=0$ :

$0-x+0-2=0\\
-x=2\\
x=-2$

Gdy $m=0$ to równanie $mx^2-x+m-2=0$ ma jedno rozwiązanie $x=-2$ .

Teraz będziemy już korzystali z wyznacznika równania kwadratowego (delty).

$mx^2-x+m-2=0\\
\Delta=1-4m(m-2)=1-4m^2+8m=-4m^2+8m+1\\
\Delta=-4m^2+8m+1$

1. Gdy delta (zwrócona ramionami w dół) jest ujemna to równanie nie posiada żadnego rozwiązania:

$\Delta=-4m^2+8m+1<0\to a=-4 <0\\
\Delta_m=64+16=80\\
 \sqrt{\Delta_m} =4 \sqrt{5} \\
m_1= \frac{-8-4 \sqrt{5}}{-8}=\frac{2+ \sqrt{5}}{2}\approx 2,12\\
m_2= \frac{-8+4 \sqrt{5}}{-8} =\frac{2- \sqrt{5}}{2}\approx -0,12\\\\
-4(m-\frac{2+ \sqrt{5}}{2})(m-\frac{2- \sqrt{5}}{2})<0\\\\
\boxed{m\in (-\infty ;\frac{2- \sqrt{5}}{2})\cup (\frac{2+ \sqrt{5}}{2};\infty)}$

2. Równanie będzie posiadało jedno rozwiązanie gdy delta będzie równa 0 i gdy m=0 z wcześniej sprawdzonego przypadku:

$\Delta=-4m^2+8m+1=0\wedge m=0\\
\boxed{m\in \{\frac{2- \sqrt{5}}{2};0;\frac{2+ \sqrt{5}}{2}\}}$

3. Równanie będzie natomiast miało 2 różne rozwiązania, gdy $\Delta>0$ , ale bez m=0, bo dla tej wartości równanie ma 1 rozwiązanie:

$\Delta=-4m^2+8m+1>0 \wedge m \neq 0\\
\boxed{m\in (\frac{2- \sqrt{5}}{2};0)\cup(0;\frac{2+ \sqrt{5}}{2})}$

///Khan.

6 votes Thanks 8

Na ile sposobów możemy umieścić w rzędzie 6 z 10 uczestników wesela, wśród których jest para młoda, jeśli dokładnie jeden z nowożeńców ma być na zdjęciu?

Answer

Odii February 2019 | 0 Replies

Na ile sposobów możemy umieścić 4 osoby spośród 10 na 4 krzesłach ustawionych wokół okrągłego stołu, gdy zakładamy, że dwa rozmieszczenia są identyczne, gdy każdy ma tych samych sąsiadów po lewej i po prawej stronie?

Answer

Odii February 2019 | 0 Replies

Na ile sposobów możemy wybrać 3 różne elementy ze zbioru {1,2,3,..,10}, jeśli kolejność wyboru elementów jest istotna?

Answer

Co to jest polimorfizm? Najważniejsze rzeczy w 2-3 zdaniach

Podaj definicje, co to jest klasa abstrakcyjna. Krótko najważniejsze informacje, 3-4 zdania.

Oblicz całkę:

Oblicz całkę:

Oblicz pole pomiędzy krzywymi: i

Skoro animals species to gatunki zwierząt, to jak powiedzieć gatunek zwierzęcia(jeden)?

Oblicz całkę

Na ile sposobów możemy umieścić w rzędzie 6 z 10 uczestników wesela, wśród których jest para młoda, jeśli dokładnie jeden z nowożeńców ma być na zdjęciu?

Na ile sposobów możemy umieścić 4 osoby spośród 10 na 4 krzesłach ustawionych wokół okrągłego stołu, gdy zakładamy, że dwa rozmieszczenia są identyczne, gdy każdy ma tych samych sąsiadów po lewej i po prawej stronie?

Na ile sposobów możemy wybrać 3 różne elementy ze zbioru {1,2,3,..,10}, jeśli kolejność wyboru elementów jest istotna?

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social