Wyrażenia wymierne1. Określ dziedzinę podanego wyrażenia, a następnie przestaw to wyrażenie w prosts.... Question from @Defenestracja

Defenestracja @Defenestracja

October 2018 1 22 Report

Wyrażenia wymierne

1. Określ dziedzinę podanego wyrażenia, a następnie przestaw to wyrażenie w prostszej postaci.

20x - 5

-------

4x³ - x²

20x - 50

---------

16x² - 100

2. Określ dziedzinę wyrażenia, a następnie wykonaj działania i przedstaw wynik w jak najprostszej postaci.

12 x

------- * -------

3x² - 4x 18x + 6

2x - 10 x² + 2x - 3

--------- * ----------

x² + x - 6 10x² - 2x³

Roma

Zad. 1

$\frac{20x - 5}{4x^3- x^2}$

$4x^3- x^2 \neq 0 \\\ x^2 \cdot (4x - 1) \neq 0 \\\ x^2 \ \wedge \ 4x - 1 \neq 0 \\\\ x^2 \neq 0 \\\ x \neq 0 \\\\ 4x - 1 \neq 0 \\\ 4x \neq 1 \ /:4 \\\ x\neq \frac{1}{4} \\\\ D = R \backslash \{0; \ \frac{1}{4} \}$

$\frac{20x - 5}{4x^3- x^2} = \frac{5 \cdot (x - 1)}{x^2 \cdot (4x- 1)} = \frac{5}{x^2}$

$\frac{ 20x - 50}{16x^2 - 100}$

$16x^2 - 100 \neq 0 \\\ (4x)^2 - 10^2 \neq 0 \\\ (4x - 10)(4x + 10) \neq 0 \\\ 4x - 10 \neq 0 \ \wedge \ 4x +10 \neq 0 \\\\ 4x - 10 \neq 0 \\\ 4x \neq 10 \ /:4 \\\ x \neq 2,5 \\\\ 4x + 10 \neq 0 \\\ 4x \neq -10 \ /:4 \\\ x \neq -2,5 \\\\ D = R \backslash \{-2,5; \ 2,5 \}$

$\frac{20x - 50}{16x^2 - 100} = \frac{10 \cdot (2x - 5)}{(4x - 10)(4x + 10)} = \frac{10 \cdot (2x - 5)}{2 \cdot (2x - 5)(4x + 10)} = \frac{5}{4x + 10}$

Zad. 2

$\frac{12}{3x^2 - 4x} \cdot \frac{x}{18x + 6}$

$3x^2 - 4x \neq 0 \ \3x^2 - 4x \neq 0 \ \wedge \ 18x + 6 \neq 0 \\\ x \cdot (3x - 4) \neq 0 \ \wedge \ 6 \cdot (3x + 1) \neq 0 \ /: 6 \\\ x \neq 0 \ \wedge \ 3x - 4 \neq 0 \ \wedge \ 3x + 1 \neq 0 \\\\ x \neq 0 \\\\ 3x-4 \neq 0 \\\ 3x \neq 4 \ /:3 \\\ x \neq \frac{4}{3} \\\ x \neq 1\frac{1}{3} \\\\ 3x + 1 \neq 0 \\\ 3x \neq - 1 \ /:3 \\\ x \neq -\frac{1}{3} \\\\ D = R \backslash \{-\frac{1}{3} ; \ 0 ; \ 1\frac{1}{3} \}$

$\frac{12}{3x^2 - 4x} \cdot \frac{x}{18x + 6} = \frac{12}{x \cdot (3x - 4)} \cdot \frac{x}{6 \cdot (3x + 1)} = \frac{2}{(3x - 4)(3x + 1)} = \frac{2}{9x^2+3x - 12x -4} \\\\ = \frac{2}{9x^2- 9x -4}$

$\frac{2x -10}{x^2+ x-6} \cdot \frac{x^2+ 2x - 3}{10x^2 - 2x^3}$

$x^2+ x-6 \neq 0 \wedge \ 10x^2 - 2x^3 \neq 0 \\\\ x^2+ x-6 \neq 0 \\\ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5 \\\\ x_1 = \frac{-1-5}{2 \cdot 1}= \frac{-6}{2} = - 3 \\\\ x_2 = \frac{-1+5}{2 \cdot 1}= \frac{4}{2} =2 \\\ -------------------------\\\ x^2+ x-6 = (x+3)(x - 2) \\\ -------------------------$

$10x^2 - 2x^3 \neq 0 \\\ 2x^2 \cdot (5 - x) \neq 0 \\\ 2x^2 \neq 0 \ \wedge \ 5 - x \neq 0 \\\\ 2x^2 \neq 0 \ /:2 \\\ x^2 \neq 0 \\\ x \neq 0 \\\\ 5 - x \neq 0 \\\ - x \neq - 5 \ / \cdot (-1) \\\ x \neq 5 \\\ ------------------------- \\\ 10x^2 - 2x^3 = -2x^2 \cdot (-5 + x) = -2x^2 \cdot (x - 5) \\\ -------------------------$

$D = R \backslash \{-3; \ 0; \ 2; \ 5 \}$

$\frac{2x -10}{x^2+ x-6} \cdot \frac{x^2+ 2x - 3}{10x^2 - 2x^3} = \frac{2\cdot (x -5)}{(x+3)(x - 2)} \cdot \frac{(x+3)(x-1)}{-2x^2 \cdot (x-5)} = \frac{x-1}{-x^2 \cdot(x -2)} = \\\\ = \frac{1 -x}{x^2 \cdot(x -2)}$

$-------------------------\\\ x^2+ 2x - 3 \\\ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16; \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4 \\\\ x_1 = \frac{-2-4}{2 \cdot 1}= \frac{-6}{2} = - 3 \\\\ x_2 = \frac{-2+4}{2 \cdot 1}= \frac{2}{2} =1 \\\\ x^2+ 2x - 3 = (x+3)(x - 1) \\\ ------------------------$