Wyprowadenie wzoru na odległość punktu od prostej. Najlepiej nie te co w necie tylko długie wyprowad.... Question from @Czekobaton

January 2019 1 11 Report

Wyprowadenie wzoru na odległość punktu od prostej. Najlepiej nie te co w necie tylko długie wyprowadzenie bez pójścia na skróty .

marsuw Rysujemy okrąg o środku w punkcie A(x0,y0) styczny do prostej. Promień okręgu będzie równy odległości punktu A od prostej
Punkt styczności należy do prostej i do okręgu. Zapisujemy układ równań:

$
\left \{ {{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=d^2} \atop {Ax+By+C=0}} \right.\\y= \frac{-A}{B}*x- \frac{C}{B}\\ \\ (x-x_0)^2+( \frac{-A}{B}*x- \frac{C}{B}-y_0)^2=d^2 \\ \\x^2-2xx_0+x_0^2+\\ \\+\frac{A^2}{B^2}*x^2+\frac{2AC}{B^2}*x+\frac{2A}{B}*xy_0+\frac{2C}{B}*y_0+\frac{C^2}{B^2}+y_0^2=d^2\\ \\x^2(1+ \frac{A^2}{B^2})+x(-2x_0+2\frac{AC}{B^2}+2y_0 \frac{A}{B})+\\ \\+x_0^2+\frac{C^2}{B^2}+2y_0 \frac{C}{B}+y_0^2-d^2=0$

Aby układ równań miał jedno rozwiązanie to powyższe równanie kwadratowe musi mieć jedno rozwiązanie. Wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być równy 0:

$\\\Delta=(-2x_0+2\frac{AC}{B^2}+2y_0 \frac{A}{B})^2-4(1+ \frac{A^2}{B^2})*\\ \\*(x_0^2+\frac{C^2}{B^2}+2y_0 \frac{C}{B}+y_0^2-d^2)=0\\ \\4x_0^2+4\frac{A^2C^2}{B^4}+4y_0^2 \frac{A^2}{B^2}-8x_0\frac{AC}{B^2}-8x_0y_0 \frac{A}{B}+\\ \\+8y_0\frac{A^2C}{B^3}-4x_0^2-4\frac{C^2}{B^2}-8y_0 \frac{C}{B}-4y_0^2+4d^2+\\ \\-4x_0^2 \frac{A^2}{B^2}-4\frac{A^2C^2}{B^4}-8y_0 \frac{A^2C}{B^3}-4y_0^2 \frac{A^2}{B^2}+4d^2 \frac{A^2}{B^2}=0|*B^2:4\\ \\d^2(a^2+B^2)=y_0^2B^2+x_0^2A^2+C^2+2x_0y_0AB+2x_0AC+2y_0CB$

$\ \\d^2= \frac{(Ax_0+By_0+C)^2}{A^2+B^2}\\ \\d= \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

2 votes Thanks 1