Question

Wykaż, że suma odwrotności pierwiastków wielomianu jest liczbą wymierną W(x)=x⁴+x³-4x²-2x+4 .

Answer 1

Jednym z pierwiastków wielomianu jest 1, dzielimy go zatem przez (x-1):

W(x) = x⁴+x³-4x²-2x+4 = (x-1)(x³+2x²-2x-4)

Zauważamy, że x³+2x²-2x-4 można zapisać jako x²(x+2) - 2(x+2):

W(x) = (x-1)(x³+2x²-2x-4) = (x-1)(x²-2)(x+2) = (x-1)(x+2)(x-√2)(x+√2)

Pierwiastki równania: -2, -√2, 1, √2

Suma odwrotności pierwiastków:

1/(-2) + 1/(-√2) + 1/1 + 1/√2 = -1/2 - √2/2 + 1 + √2/2 = 1/2∈W