Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i p >= 5, to licza p^2-25 jest podzielna przez 24.Proszę o sz.... Question from @namidad12

October 2018 1 22 Report

Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i p >= 5, to licza p^2-25 jest podzielna przez 24.

Proszę o szybką odpowiedź !:)

cyfra

Jeżeli jest to liczba pierwsza różna od 2 to w szczególności jest nieparzysta, i można ją zapisać w postaci:

$p = 2n + 1, \ n \in N\\ p^2 - 25 = (p - 5)(p + 5)= (2n + 1 - 5)(2n + 1 + 5) = \\ =(2n - 4)(2n + 6) = 2(n - 2) \cdot 2(n + 3) = 4(n - 2)(n + 3)$

Wiemy na pewno, że jest podzielna przez 4. Ponieważ $n + 3 = (n - 2) + 5$ to dokładnie jedna z tych dwóch liczb: $n + 3, \ n - 2$ jest podzielna przez 2. Stąd cała liczba jest podzielna przez $2 \cdot 4 = 8$ . Czyli aby była podzielna przez 24 wystarczy, aby byla podzielna przez 3. Oczywiście wśród tych dwóch liczb naturalnych nie musi być liczby podzialnej przez 3. Sprawdźmy co się dzieje w tym przypadku:

$\begin{cases}n - 2 = 3k\\ n + 3 = 3k + 5 = 3(k + 1) + 2\end{cases} \\ \vee \begin{cases}n - 2 = 3k + 1\\ n + 3 = 3k + 1 + 5 = 3(k + 2)\end{cases}\\ \vee \begin{cases}n - 2 = 3k + 2\\ n + 3 = 3k + 2 + 5 = 3(k + 2) + 1\end{cases}$

Interesuje nas tylko ostatni przypadek (tylko tam mamy dwie liczby niepodzielne przez 3:

$\begin{cases}n - 2 = 3k + 2\\ n + 3 = 3(k + 2) + 1\end{cases}\\ n = 3k + 4\\ p = 2n + 1 = 2(3k + 4) + 1 = 3k + 8 + 1 = 3(k + 3)$

Czyli doszliśmy do sprzeczbności. Z tego, że liczby $n + 3, \ n - 2$ są niepodzielne przez 3 wynika, że p jest podzielne przez 3, a przecierz p miało być luiczbą pierwszą różną od 3! Dlatego jedna z liczb $n + 3, \ n - 2$ jest podzielna przez 3. Stąd całość jest podzielna przez $2 \cdot 4 \cdot 3= 24$ .