Question

Wszystkie wierzchołki ośmiokąta foremnego A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 leżą na pewnym okręgu, przy czym dane są trzy spośród nich: A_1 (-1,3),A_3 (3,3),A_5 (3,7). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego ośmiokąta.

Answer 1

Rozwiązanie:

Środek okręgu:

[tex]S=\left(\dfrac{x_1+x_5}{2},\dfrac{y_1+y_5}{2}\right)[/tex]

[tex]S=\left(\dfrac{-1+3}{2},\dfrac{3+7}{2}\right)=\left(\dfrac{2}{2},\dfrac{10}{2}\right)=\left(1,5\right)[/tex]

Promień okręgu:

[tex]r=\sqrt{(x_S-x_1)^2+(y_S-y_1)^2}[/tex]

[tex]r=\sqrt{(1-(-1))^2+(5-3)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}[/tex]

Pozostałe wierzchołki ośmiokąta foremnego:

[tex]A_2=(x_S,y_S-r)[/tex]

[tex]A_2=(1,5-2\sqrt{2})[/tex]

[tex]A_4=(x_S+r,y_S)[/tex]

[tex]A_4=(1+2\sqrt{2},5)[/tex]

[tex]A_6=(x_S,y_S+r)[/tex]

[tex]A_6=(1,5+2\sqrt{2})[/tex]

[tex]A_8=(x_S-r,y_S)[/tex]

[tex]A_8=(1-2\sqrt{2},5)[/tex]

[tex](x_S,y_S)=\left(\dfrac{x_3+x_7}{2},\dfrac{y_3+y_7}{2}\right)[/tex]

[tex](1,5)=\left(\dfrac{3+x_7}{2},\dfrac{3+y_7}{2}\right)[/tex]

[tex]1=\dfrac{3+x_7}{2},\quad5=\dfrac{3+y_7}{2}[/tex]

[tex]2=3+x_7,\quad10=3+y_7[/tex]

[tex]-1=x_7,\quad7=y_7[/tex]

[tex]A_7=(-1,7)[/tex]

Odpowiedź:

[tex]A_2=(1,5-2\sqrt{2})[/tex]

[tex]A_4=(1+2\sqrt{2},5)[/tex]

[tex]A_6=(1,5+2\sqrt{2})[/tex]

[tex]A_7=(-1,7)[/tex]

[tex]A_8=(1-2\sqrt{2},5)[/tex]