Question

Wskazówki zegara pokrywają się o godzinie 12.00 . Po jakim czasie wskazówki pokryją się ponownie?

Proszę o wytłumaczone i uzasadnione obliczenia.
Dam naj.

Answer 1

Oczywiście obie powyższe odpowiedzi są błędne.

Rozwiązanie 1:
Miejsc, gdzie wskazówki się spotykają, jest 11:
1. 12,
2. między 1 a 2,
3. między 2 a 3,
(...)
10. między 9 a 10
11. między 10 a 11
Potem znów jest 12.

Są one równo rozłożone na kole, więc każde z nich zajmuje 1/11 koła, czyli 360/11 stopni.

360/11=32 i 8/11 stopnia
Tyle musi przebyć wskazówka godzinowa (minutowa dokładnie o jeden obrót więcej).

Trzeba to przeliczyć na czas. Można z proporcji:

Jedna godzina - 30 stopni
x - 32 i 8/11 stopnia.

x=1h*(32 i 8/11 stopnia)/30 stopni = 60min*(32 i 8/11)/30 = 2* (32 i 8/11) min = 65 i 5/11 min

Rozwiązanie dokładne nie uwzględnia skokowego mechanizmu zegara (czyli że wskazówki poruszają się i zatrzymują co jeden cykl - w większości zegarów co sekundę, ale w niektórych może to być np. 1/4 s

Rozwiązanie 2:
Po jednym obrocie wskazówki minutowej jest ona na dwunastce, a minutowa na jedynce.

Wskazówka minutowa porusza się 12 razy szybciej od godzinowej, ale godzinowa ma 5 minut przewagi.
x- czas do spotkania

x-5min=x/12

11/12x=5 min
x=5*12/11 min
x=60/11 min
x=5 i 5/11 min

Do tego doliczamy już wykonany obrót (60 min) i mamy wynik taki jak poprzednio.

Rozwiązanie 3:
(Achilles i żółw)
W czasie, gdy wskazówka minutowa przebywa kąt Alfa, minutowa przebywa kąt alfa/12.

Będziemy rozpatrywać kolejne odcinki, kiedy wskazówka minutowa przybywa do miejsca, gdzie poprzednio była godzinowa.

1. Wskazówka godzinowa jest na 12: potrzebujemy 1 godziny, by minutowa się tam znalazła. (t1=1h)
2. W tym czasie godzinowa przebyła 1/12 tej trasy. Jeśli minutowa ma się znaleźć tam, gdzie teraz jest godzinowa, to musi przebyć 1/12 poprzedniej (t2=1/12 t1)

n. Wskazówka godzinowa ma 1/12 przewagi, którą miała poprzednio. Obie wskazówki potrzebują 1/12 tego czasu co poprzednio, by powtórzyć krok.

Mamy więc typowy szereg geometryczny, gdzie:
t1=1h
q=1/12

Ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:

S=t1(1-q)=60 min/(11/12)=60*12/11 min=65 i 5/11 min

(da się zabrać punkty tamtym, a dać mi?)