Witam, proszę o wyczerpujące rozwiązanie poniższego zadania na poziomie matury rozszerzonej.Wyznacz .... Question from @lysavietta

October 2018 1 50 Report

Witam, proszę o wyczerpujące rozwiązanie poniższego zadania na poziomie matury rozszerzonej.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których poniższe równanie ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest większa od 4.

mx^2 + (m+6)x + 4 = 0

hhtp

dwa różne rozwiązania, zatem musi to być funkcja kwadratowa

czyli :

$m\neq 0$

dwa różne rozwiązania, czyli na pewno :

$\Delta > 0\\ (m+6)^2 -4\cdot m\cdot 4 > 0\\ m^2 + 12m + 36 - 16m > 0\\ m^2 - 4m + 36 > 0\\ \Delta_m = (-4)^2 -4\cdot 36 =16 - 144=-128 <0\\ a> 0 \wedge \Delta_m < 0 \Rightarrow m\in \Re$

suma kradratów jest więszka od 4

$x_1^2 + x_2^2 >4\\ x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 > 4\\ (x_1+x_2)^2 -2x_1x_2 >4\\ x_1+x_2 = \frac{-b}{a}=\frac{-m-6}{m}\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{m}\\ ( \frac{-m-6}{m})^2 -2 \cdot \frac{4}{m} > 4\\ \frac{m^2 + 12m + 36}{m^2} - \frac{8}{m} - 4 >0\\ \frac{m^2 +12m+ 36}{m^2} - \frac{8m}{m^2} -\frac{4m^2}{m^2} >0\\ \frac{m^2 + 12m + 36 - 8m - 4m^2}{m^2} >0\\ \frac{-3m^2 + 4m + 36}{m^2} >0\\ (-3m^2 + 4m + 36)m^2 >0 \wedge m^2 \neq 0\\ \Delta=4^2 -4\cdot (-3)\cdot 36 = 448\\ \sqrt{\Delta} =8\sqrt7\\$

$m_1=\frac{-4-8\sqrt7}{-6} = \frac{2+4\sqrt7}{3}\\ m_2=\frac{-4+8\sqrt7}{-6} = \frac{2-4\sqrt7}{3}\\ m_3=0_{(2)}\\ m\in ( \frac{2-4\sqrt7}{3}, 0)\cup (0, \frac{2+4\sqrt7}{3})$

ostateczna odpowiedź jest częścią wspólną poszczególnych etapów, czyli :

$(m\neq 0)\wedge (m\in\Re) \wedge (m\in ( \frac{2-4\sqrt7}{3}, 0)\cup (0, \frac{2+4\sqrt7}{3})) \Rightarrow m\in ( \frac{2-4\sqrt7}{3}, 0)\cup (0, \frac{2+4\sqrt7}{3})$