Question

Wielomian w(x)=ax³+bx²-9x-10 jest podzielny przez dwumian x-2 i przez dwumian x+1
a)znajdz współczynniki a i b
b)oblicz sumę kwadratów pierwiastków wielomianu

Answer 1

Wielomian w(x)=ax³+bx²-9x-10 jest podzielny przez dwumian x-2 i przez dwumian x+1
a)znajdz współczynniki a i b
b)oblicz sumę kwadratów pierwiastków wielomianu

Jeżeli wielomian jest podzielny przez dwumian ( x -2) i ( x + 1)to pierwiastkami ( rozwiazaniami jest x = 2 i x = -1 )wówczas wielomian jest równy zero
Podstawiam w miejsce x w /w pierwiastki i otrzymuje układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:
a*2³ + b*2² - 9*2 -10 = 0
a*(-1)³ + b*(-1)² - 9 *(-1) -10 = 0

8a + 4b -18-10 = 0
-a + b +9 -10 = 0

8a + 4b =28 /:4
-a + b = 1

2a + b =7
b = a +1

2a + a +1 =7
b = a +1

3a =6 /:3
b = a +1

a = 2
b= 2 +1


a = 2
b = 3

Obliczam trzeci pierwiastek wielomianu9 sa 3 pierwiastki ponieważ jest to równanie 3-go stopnia)
w(x)=2x³+3x²-9x-10
trzeciego pierwiastka szukam wsród podzielników wyrazu wolnego 10
mogą to być liczby: -1, 1, -2, 2,-5, 5, -10, 10
Sprawdzam W(1) i jeżeli wielomian w(x) = 0, to x=1 jest pierwiastkiem wielomianu
W(1)=2*1³ + 3 *1² -9*1 -10 = 2 + 3 -9 -10 = 5 - 19 = -14≠ 0 ( tzn że x = 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu
W(-2) =2(-2)³ + 3(-2)² -9 (-2) -10 =-16 +12 + 18 -10 =30-26 =4≠ 0 ( tzn że x =-2 nie jest pierwiastkiem wielomianu

W(-5) =2(-5)³ + 3(-5)² -9 (-5) -10 = -250 +75 +45-10 =120-260= -140 ≠ 0 ( tzn że x = -5 nie jest pierwiastkiem wielomianu
W(5)=2(5)³ + 3(5)² -9 (5) -10 =250+75-45 -10 =325_55 =270 ≠ 0 ( tzn że x = 5 nie jest pierwiastkiem wielomianu
Poniewaz nie daje to spodziewanych efektów więc dzielę wielomian najpierw przez ( x-2) a potem prezwz ( x+1)
[2x³+3x²-9x-10 ]:( x-2) = 2x²+ 7x +5
[2x²+ 7x +5]: (x+1) =2x +5
zapisuję wiekomian W(x) w postaci iloczynowej:

2x³+3x²-9x-10 = ( x-2) (x+1)( 2x+5)

Stad trzecim pierwiastkiem jest: 2x +5 =0
x = -5/2

b) obliczam sumę kwadratów pierwiastków równania

x= 2
x= -1
x= -5/2
(2)² +(-1)² + ( -5/2)²= 4 + 1+ 25/4 = 11 i 1/4

Answer 2

W(x) =ax^3 +bx^2 -9x -10
dzieli się przez (x-2) i (x+1)
czyli pierwiastkami w(x) są liczby x=2 i x = -1
Obliczamy
w(-1) =-a +b+9 -10 =-a+b-1 =0
w(2) = 8a+4b -18 -10 =8a +4b -28 =0
Rozwiązujemy układ równań:
-a +b =1
8a +4b =28
Otrzymujemy a =2 , b =3
Odp. a =2,b=3
b)
Zatem w(x) =2x63 +3x^2 -9x -10
obliczamy (x-2)*(x+1) =x^2 -x -2
Wykonujemy dzielenie
(2x^3 +3x^2 -9x-10):( x^2 -x -2) = 2x+5
Czyli w(x) =(2x+5)*(x+1)*(x-2)

2x+5 = 0 gdy x=2,5
Mamy pierwiastki x1=-1, x2=2 ,x3 =2,5
Zatem (x1)^2 +(x2)^2 +(x3)^2 = (-1)^2 +2^2 + (2,5)^2 =
=1 +4 + 6,25 =11,25
Odp. 11,25