Question

Wiadomo że suma n początkowych wyrazów pewnego ciagu (an) wyraża sie wzorem
Sn=4*(5^n-1)
Udowodnij ze ciag an jest ciagiem geometrycznym podaj jego wzor ogolny

Answer 1

Odpowiedź:

Aby udowodnić, że ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, musimy pokazać, że stosunek dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały. Wartość tego wspólnego ilorazu będzie określać ogólny wzór ciągu geometrycznego.

Rozważmy stosunek dwóch kolejnych wyrazów ciągu (an):

an = 4 * (5^n - 1)

an+1 = 4 * (5^(n+1) - 1)

Teraz obliczmy stosunek an+1 do an:

an+1 / an = [4 * (5^(n+1) - 1)] / [4 * (5^n - 1)]

Teraz możemy uprościć ten wyrażenie, usuwając wspólny czynnik 4 z licznika i mianownika:

an+1 / an = (5^(n+1) - 1) / (5^n - 1)

Teraz, aby udowodnić, że ciąg (an) jest geometryczny, musimy pokazać, że powyższy stosunek jest stały, czyli nie zależy od n. Możemy to zrobić, obliczając wartość tego stosunku:

an+1 / an = (5^(n+1) - 1) / (5^n - 1)

Teraz zauważmy, że można uprościć wyrażenie, wydzielając 5^n w obu liczniku i mianowniku:

an+1 / an = (5^n * 5 - 1) / (5^n - 1)

Teraz możemy uprościć to wyrażenie, ponieważ 5^n jest wspólnym czynnikiem w obu częściach:

an+1 / an = (5^n * (5 - 1)) / (5^n - 1)

Teraz zauważmy, że można dalej uprościć wyrażenie, ponieważ 5 - 1 = 4:

an+1 / an = (5^n * 4) / (5^n - 1)

Teraz widzimy, że wartość tego stosunku, czyli 4, jest stała i nie zależy od n. To oznacza, że ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym.

Ogólny wzór ciągu geometrycznego (an) można określić jako:

an = a1 * r^(n-1),

gdzie:

a1 to pierwszy wyraz ciągu,

r to iloraz ciągu.

W naszym przypadku, a1 = 4, a iloraz r to 4/1 = 4. Więc ogólny wzór ciągu (an) to:

an = 4 * 4^(n-1).

Answer 2

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie: