Question

Walec o wysokosci H i promieniu podstawy r przecieto plaszczyzna równoległą do jego podstawy. pole podstawy walca jest srednia gemoczna pól powierzchni bocznych otrzymanych brył. oblicz długość odcinków na jakie została podzielona wysokośc walca.

Answer 1

Dane:
wysokość walca H
promień postawy r
x pierwszy z odcinków, na który została podzielona wysokość walca
H - x drugi z odcinków, na który została podzielona wysokość walca

pole podstawy walca jest średnią geometryczną pól powierzchni bocznych dwóch powstałych walców P₁ i P₂, które otrzymano po przecięciu płaszczyzną równoległą jego podstawy, czyli
√P₁P₂ = πr² (pierwiastek z iloczynu P₁P₂ ; średnia geometryczna dwóch liczb)
powierzchnia boczna pierwszego walca P₁ = 2πrx
powierzchnia boczna drugiego walca P₂ = 2πr(H - x)
√P₁P₂ = √[2πrx*2πr(H - x)] = 2πr√[x(H-x)] = πr²
więc 2√[x(H-x)] = r
√[x(H-x)] = ½r / po podniesieniu obu stron równania do kwadratu
(liczba pod pierwiastkiem jest dodatnia) otrzymujemy
x(H-x) = ¼r²
Rozwiązujemy równanie
-x² + Hx - ¼r²=0/*(-1)
x² - Hx + ¼r²=0
Δ = H² - 4*¼r²= H² - r² = (H -r)(H+r)
x₁ = (H - √Δ)/2 = {H - √[(H -r)(H+r)]}/2
x₂ = (H + √Δ)/2 = {H + √[(H -r)(H+r)]}/2

Odpowiedź
Wysokość walca H została podzielona na dwa odcinki o długościach: {H - √[(H -r)(H+r)]}/2 i {H + √[(H -r)(H+r)]}/2

Można też zapisać
{H - √(H² - r²)}/2 i {H + √(H² - r²)}/2