Wahadło matematyczne i fizyczne Gdzie należy umieścić oś obrotu pręta, aby okres wahadła matematyczn.... Question from @Matrioszka2707

December 2018 1 7 Report

Wahadło matematyczne i fizyczne

Gdzie należy umieścić oś obrotu pręta, aby okres wahadła matematycznego o $\frac{1}{2}$ długości wahadła fizycznego był taki sam?

aczo Okres drgań wahadła matematycznego o długości $\frac{l}{2}$ :
$T_m=2\pi\sqrt{\frac{\frac{l}{2}}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$

Okres drgań wahadła fizycznego o długości l:
$T_f=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}}$
gdzie:
I - moment bezwładności
m - masa

Oba okresy mają być równe:
$2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}}$

*) $\sqrt{\frac{l}{2g}}=\sqrt{\frac{I}{mgl}}$

Korzystamy z twierdzenia Steinera, które określa że moment bezwładności bryły względem osi obrotu równoległej do osi przechodzącej przez środek masy ciała dany jest wzorem:

$I=I_0+md^2$
gdzie:

$I_0$ - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, dla pręta $I_0=\frac{ml^2}{12}$
d - przesunięcie osi obrotu

$I=I_0+md^2=\frac{ml^2}{12}+md^2$

Podstawiamy do wzoru *)

$\sqrt{\frac{l}{2g}}=\sqrt{\frac{\frac{ml^2}{12}+md^2}{mgl}}\ \ \ |^2$

$\frac{l}{2g}=\frac{\frac{ml^2}{12}+md^2}{mgl}\ \ \ |\cdot mgl$

$\frac{mgl^2}{2g}=\frac{ml^2}{12}+md^2$

$\frac{ml^2}{2}-\frac{ml^2}{12}=md^2\ \ \ |:m$

$6\frac{l^2}{12}-\frac{l^2}{12}=d^2$

$\frac{5l^2}{12}=d^2$

$d=\sqrt{\frac{5l^2}{12}}=\boxed{\sqrt{\frac{5}{12}}l}$

Odpowiedź: Oś należy umieścić w $\sqrt{\frac{5}{12}}l$

1 votes Thanks 1