Question

W trójkącie równoramiennym ramię ma długość 8 a kąt nachylenia ramienia do podstawy ma miarę 30 stopni.Oblicz długość promienia wpisanego w ten trójkąt.

Answer 1

A - długość podstawy Δ
b - długość ramienia Δ
h - wysokość Δ
P - pole Δ
r - długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt
obw.Δ - obwód trójkąta
kąt α = 30⁰
b = 8
Pole wielokąta, w który można wpisać okrąg jest równe iloczynowi połowy jego obwodu i długości promienia tego okręgu.

P = ½ obw.Δ * r
r = 2P / obw.Δ
r = 2P / a + 2b
Musimy więc obliczyć a.
sin 30⁰ = h / b
½ = h / 8 /*8
h = 4
Z tw. Pitagorasa
(½a)² = b² - h²
¼a² = 8² - 4²
¼a² = 64 - 16
¼a² = 48 /*4
a² = 192
a = √192
a = √64*3
a = 8√3
P = ½ah
P = ½*8√3*4
P = 16√3
ObwΔ = a + 2b
ObwΔ = 8√3 + 2*8 = 16 + 8√3 = 8*(2 + √3)
r = 2P / a + 2b
r = 2*16√3 / 8*(2 + √3) = 4√3 / 2 + √3

Odp. Długości promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt wynosi 4√3 / 2 + √3