Question

W trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt dzieli przeciwprostokątną na odcinki dł. 5 i 12. oblicz dł. przyprostokątnych trójkąta. :)

Answer 1

Dany jest prostokątny Δ ABC.
Punkt styczności D okręgu wpisanego w Δ dzieli przeciwprostokątną AB na odcinki o długościach
AD = 12 i BD = 5, zatem AB =12 + 5 = 17
Niech E oraz F będą pozostałymi punktami styczności okręgu
z bokiem AC oraz BC.
Mamy zatem
AC = AE + r , ale AE = AD = 12
BC = BF + r, ale BF = BD = 5
r - promień okręgu wpisanego.
Zatem
AC = 12 + r oraz BC = 5 + r
Trójkąt jest prostokątny mamy więc
(12 + r)² + (5 + r)² = 17²
144 + 24r + r² + 25 + 10r + r² = 289
2r² + 34r +169 -289 = 0
2r² + 34 r - 120 = 0
r² + 17 r - 60 = 0
Δ =17² -4*(-60) = 289 + 240 = 529
√Δ = 23
r1 = [-17 -23]/2 = -40/2 = -20 < 0 - odpada
r = r2 = [-17 + 23]/2 = 6/2 = 3
Mamy więc
AC = 12 + 3 = 15
BC = 5 + 3 = 8
Odp. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości równe
15 oraz 8.