Question

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a krótsza przyprostokątna 6 cm.Wyznacz długości odcinków na jakie podzieliła dłuższą przyprostokątną symetria przeciwprostokątnej

Answer 1

Dzielimy trójkąt tak jak na obrazku i otrzymujemy 4 trójkąty prostokątne (3 małe i jeden duży). Budujemy dla każdego równania na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

duży: (x+y)² + 36 = 100 (1)
(x+y)² = 64
x+y = 8

małe: 36 + x² = a² (2)
25 + b² = a² (3)
b² + 25 = y² (4)

Z małych robimy układ równań i rozwiązujemy go aż uzyskamy równanie z samymi x i y:

36 + x² = 25 + b² (równanie 3 wrzucone do równania 2)
b² = x² + 11 (5)
x² + 11 + 25 = y² (równanie 5 wrzucone do równania 4)
y² = x² +36 (6)

Teraz robimy układ równań 1 i 6:

(x+y)² + 36 = 100
y² = x² +36
x² + 2xy + y² +36 = 100
x² + 2xy + x² +36 +36 = 100
2x² + 2xy = 28 /÷2
x² + xy = 14
x (x + y) = 14
(x + y) = 14/x <- to wrzucany znów do równania dużego trój.
(14/x) = 8 /× x
x = 14/8
x = 1,75

1,75 + y = 8
y = 6,25

Odp: x = 1,75, y = 6,25