Question

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od pzeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie.

Dam naj za rozwiazanie !!

Answer 1

W takim trojkacie katy ostre maja 30 i 60 stopni.  (a/2a=sinα, α=30⁰ Patrz zalacznik)

 

Srednica kola opisanego jest przeciwprostokatna

 

2R=2a

R=a

Pole trojkata

P=1/2*a*a√3=a²√3/2

P=rp  (p - polowa obwodu trojkata)

p=(3a+a√3)=a(3+√3)

r=P/p

r=a²√3/2a(3+√3)=a√3(3-√3)/12=a(3√3-3)/12

 

k=r/R=3a(√3-1)/12a=(√3-1)/4