W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=9, |BC| = 7. Wiadomo też, że miara kąta ABC jest dwa raz.... Question from @goovie

October 2018 1 20 Report

W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=9, |BC| = 7. Wiadomo też, że miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC. Oblicz stosunek długości promienia okręgo wpisanego w ten trójkąt do długości promiena okręgu opisanego na tym trójkącie.

Ma wyjść $\frac{115}{343}$ .

Daje naj tylko jak ktoś poda pełne rozwiązanie (są dwa).

W załączniku rysunek trójkąta.

hhtp

twierdzenie sinusów :

$\frac{7}{sin\alpha} = \frac{9}{sin2\alpha}\\ 7sin2\alpha = 9sin\alpha \\ 7\cdot 2sin\alpha cos\alpha = 9sin\alpha \\ 14cos\alpha = 9\\ cos\alpha = \frac{9}{14}$

twierdzenie cosinusów:

$7^2 =9^2 + x^2 -2\cdot 9\cdot x\cdot cos\alpha \\ 49 = 81 + x^2 -18x \cdot \frac{9}{14} \\ x^2 - \frac{81}{7}x + 32 = 0/\cdot 7\\ 7x^2 - 81x + 224 =0\\ \Delta=289\\ \sqrt{\Delta} = 17\\ x_1=\frac{81-17}{14} = \frac{32}{7}\\ x_2=\frac{81+17}{14} = 7$

drugie rozwiązanie odrzucamy, gdyż byłby to wtedy trójkąt równoramienny czyli $180-3\alpha = \alpha\\ \alpha = 45^{o}$ co jest niezgodne z obliczonym cosinusem

$r=\frac{P}{p}\\ r=\frac{P}{\frac{9+7+\frac{32}{7}}{2}}\\ r=\frac{P}{\frac{144}{14}}\\ r=\frac{14P}{144}\\ r=\frac{7P}{72}$

$P=\frac{1}{2}\cdot \frac{32}{7}\cdot 9\cdot sin\alpha \\ 2R=\frac{9}{sin2\alpha}\\ 2R sin2\alpha = 9\\ P=\frac{1}{2}\cdot \frac{32}{7}\cdot 2R sin2\alpha \cdot sin\alpha \\ P=\frac{32}{7}\cdot R \cdot 2sin\alpha cos\alpha sin\alpha \\ P=\frac{64}{7}R \cdot sin^2\alpha \cos\alpha \\ P=\frac{64}{7}R (1-cos^2\alpha) cos\alpha\\ P=\frac{64}{7} R \cdot \frac{115}{196}\cdot \frac{9}{14}\\ P\cdot \frac{7}{64}\cdot \frac{196}{115} \cdot \frac{14}{9} =R$