Question

W trapezie równoramiennym przekątne są do siebie prostopadłe i dzielą się w stosunku 1:2. Wysokość trapezu ma długość 6. Oblicz dłuższą podstawę trapezu.

Answer 1

BEZ RYSUNKU CIĘŻKO WYTŁUMACZYĆ, ALE SPRÓBUJĘ.

przyjmijmy,że przekątne przecinają się w punkcie O, skoro jest to trapez równoramienny, to są one równe; dzieląc się w stosunku 1:2 krótszy odcinek oznaczmy x a dłuższy 2x
a- górna podstawa
b- dolna podstawa

z Pitagorasa: x^2+x^2=a^2 oraz (2x)^2+(2x)^2=b^2
stąd: 2x^2=a^2 oraz 8x^2=b^2

... przyda się potem x^2=(b^2)/8...

zatem x=(a pierwiastek z 2)/2 oraz x=(b pierwiastek z 2)/4
porównujemy (a pierwiastek z 2)/2=(b pierwiastek z 2)/4
i otrzymujemy po przekształceniu a=b/2

c - ramię trapezu
prowadzimy dwie wysokości z wierzchołków górnej podstawy dzieląc trapez na dwa identyczne trójkąty prostokątne i prostokąt, zatem krótsza przyprostokątna ma długość
d=(b-a)/2 ... do dalszych obliczeń będziemy potrzebować d^2, więc:

d^2=(b-a)^2/4=(b^2-2ab+a^2)/4
po podstawieniu a i uproszczeniu mamy d^2=(b^2)/16

z Pitagorasa:
bierzemy pod uwagę dwa trójkąty prostokątne
PIERWSZY o przyprostokątnych d, 6(wysokość trapezu) i przeciwprostokątnej c
DRUGI o przyprostokątnych x, 2x i przeciwprostokątnej c
otrzymujemy
PIERWSZY d^2+6^2=c^2
DRUGI x^2+(2x)^2=c^2
stąd
d^2+6^2=x^2+(2x)^2
d^2+36=5x^2
podstawiamy d^2 oraz x^2 z niewiadomą b tj. x^2=(b^2)/8

uzyskujemy więc: (b^2)/16+36=5*(b^2)/8
po redukcji 9*b^2=648
b^2=72
b=6 pierwiastków z 2