Question

W trapezie prostokątnym ABCD, gdzie A i D są wierzchołkami kątów prostych, na boku BC zaznaczono punkt E. Wiadomo, że długość odcinka AB jest równa długości odcinka BE oraz, że długość odcinka CD jest równa długości odcinka CE. Oblicz miarę kąta AED.

Proszę o rozwiązanie wraz z obliczeniami.

Answer 1

Trójkąty CDE i ABE są równoramienne, dlatego kąty a i b przy odpowiednich podstawach są takie same. Wiemy, że kąty BAD i ADC są proste, suma kątów w czworokącie wynosi 360, zatem:
90+90+c+d=360
c+d=180

Suma kątów w trójkącie wynosi 180, zatem w trójkątach CDE i ABE sumy kątów wynoszą odpowiednio
a+a+d=180
b+b+c=180

Dodajemy stronami:
2a+2b+c+d=360, znamy wartość c+d=180, zatem
2a+2b+180=360
2a+2b=180
a+b=90.

Spójrzmy na kąt CEB, jest on półpełny, czyli jego miara wynosi 180. Z rysunku:
a+b+?=180
Znamy wartość a+b=90, zatem 90+?=180
?=90.