Question

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, krawędź podstawy ma 2cm, a pole powierzchni bocznej wynosi 12 cm². Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tej bryły.

Answer 1

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, krawędź podstawy ma 2cm, a pole powierzchni bocznej wynosi 12 cm². Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tej bryły.
a = 2 cm - krawędź podstawy
h = 1/2*a*√3 - wzór na wysokość trójkąta równobocznego ( wysokość podstawy)
hś - wysokość ściany bocznej
H - wysokość ostrosłupa
Pb = 12 cm²


Pc = ? - pole całkowite
V = ? - objętość

1. Obliczam wysokość h podstawy
h =1/2*a*√3
h = 1/2*2 cm*√3
h = √3 cm

2. Obliczam pole podstawy Pp
Pp = 1/2*a*h
Pp = 1/2*a*√3 cm
Pp = 1/2*2 cm*√3
Pp = √3 cm²

3. Obliczam pole całkowite
Pc = Pp + Pb
Pc = √3 cm² + 12 cm²
Pc = (12 + √3) cm²

4.Obliczam hś - wysokość ściany bocznej
Pb = 12 cm²
Pb = 3*1/2*a*hś
Pb = 3/2*2cm*hś = 12 cm²
3/2*2cm*hś = 12 cm²
3 cm*hś = 12 cm²
hś = 12 cm² : 3 cm
hś = 4 cm

5. Obliczam wysokość H ostrosłupa
z tw. Pitagorasa
H² + (1/3*h)² = (hś)²
H² = (hś)² - (1/3*h)²
H² = (4cm)² - (1/3*√3 cm)²
H² = 16 cm² - (1/9*3) cm²
H² = 16 cm² -1/3 cm²
H² = 15⅔ cm²
H² = 47/3 cm²
H = √47 :√3 cm
H = (√47 : √3)*(√3 : √3) usuwam niewymierność mianownika
H = √47*√3 : 3
H = 1/3*√141

5. Obliczam objętość ostrosłupa
V = 1/3*Pp*H
V = 1/3*√3 cm²*1/3*√141
V = 1/9*√3*√141 cm³
V = 1/9*√3*√3*√47
V = 1/9*3*√47
V = (1/3)*√47 cm³

Odp. Pole całkowite wynosi Pc = (12 + √3) cm² , objętość ostrosłupa wynosi
V =(1/3)*√47 cm³