Question

W okrąg o promieniu r=10cm wpisano trójkąt. Środek okręgu lezy na jednym z boków trójkąta, a stosunek długości pozostałych boków wynosi 3:4. oblicz pole tego trójkąta.

Answer 1

W okrąg o promieniu r=10cm wpisano trójkąt. Środek okręgu lezy na jednym z boków trójkąta, a stosunek długości pozostałych boków wynosi 3:4. oblicz pole tego trójkąta.

Jeżeli środek okręgu leży na jednym z boków trójkąta, czyli jest to trójkąt prostokątny, a średnica tego okręgu będzie przeciwprostokątną tego trójkąta, czyli
c=2r
c=2*10=20cm

a/b=3/4
3b=4a
a=3/4 b

a²+b²=c²
(3/4 b)²+b²=20²
9/16 b²+b²=400
9/16 b²+ 16/16 b²=400
25/16 b²=400 /*16/25
b²=400*16/25
b²=16*16
b²=256
b=16cm

a=3/4 b
a=3/4 *16
a=3*4
a=12cm

P=1/2 a*b
P=1/2*12*16
P=6*16
P=96cm²

Answer 2

Tylko i wyłącznie trójkąt prostokątny wpisany w okrąg ma tą właściwość, że jeden z jego boków (i jest to zawsze przeciwprostokątna) przecina środek okręgu opisanego. Tak więc mamy wiedzę, że trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej 20cm (c=2r)

Teraz z wiedzy o bokach i twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wszystkie boki. Załóżmy, że "x" będzie jakąś tam jednostką długości (od tak dla jaj). Jeden bok (z proporcji 3:4) będzie miał długość 3x, a drugi 4x, trzeci jest znany i ma 20cm... a więc lecimy Pitagorasa:


c²=a²+b²
(20cm)²=(3x)²+(4x)²
400cm²=9x²+16x²
25x²=400cm² |:25
x²=16cm² |√
x=4cm

tak więc moja założona jednostka długości to 4cm, a jeden bok skoro ma 3x to ma 12cm, a drugi 16cm... teraz obliczyć pole to pikuś:
P=½a*b=½*12cm*16cm=6cm*16cm=96cm²