Question

W kole o promieniu 15cm wykreślono cięciwę, której długość wynosi 20cm. Oblicz sinus kąta środkowego wspartego na tej cięciwie.

Answer 1

Α kat srodkowy
promienie i cieciwa tworza trojkat rownoramienny, gdzie ramiona sa rowne r, a podstawa rowna cieciwie d, kat srodkowy to kat miedzy ramionami trojkata, jesli zaznaczymy wysokosc w tym trojkacie poprowadzona z wierzcholka (jednoczsenie srodka okregu), mamy trojkat prostokatny o jednej przyprostokatnej rownej polowie cieciwy i przeciwprostokatnej rownej promieniowi, wtedy
r=15
d=20

sin(α/2)=(½d)/r=10/15=2/3

wysokosc trojkata obliczam z twierdzenia Pitagorasa
h²+(½d)²=r²
h²+10²=15²
h²=225-100
h²=125
h=√125=5√5

wtedy cos(α/2)=h/r=5√5/15=√5/3

żeby obliczyć sinα wykorzystuje wzor na sin podwojonego kata, czyli
sinα=2sinα/2 cosα/2
sinα=2 razy (2/3) razy (√5/3)=(4/9)√5