Question

Uzasadnij że:

a.) suma liczby naturalnej i kwadratu tej liczby jest podzielna przez 2

b.) różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą

c.) różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest podzielna przez 8

przykłady:

a.) 2 + 2^{2} = 6

5 + 5^{2} = 30

b.) 4^{2} - 5^{2} = -9

7^{2} - 8^{2} = -15

c.) 5^{2} - 7^{2} = -24

3^{2} - 5^{2} = -16

Answer 1

A) niech n będzie dowolną liczbą naturalną, wówczas n+n²=n(1+n) , zatem otrzymujemy iloczyn liczby parzytsej i nieparzystej, a taki iloczyn jest zawsze liczbą parzystą , a liczba parzysta jest zawsze podzielna przez 2 b) n-dowolna liczba naturalna, n+1-kolejna liczba naturalna n²-(n-1)²=n²-n²+2n-1=2n-1 , zatem ta liczba jest nieparzysta, ponieważ 2n jest zawsze liczbą parzystą i jak odejmiemy od niej 1 to zawsze otrzymamy liczbę nieparzystą c) 2n+1, 2n+3 - dwie kolejne liczby nieparzyste (2n+3)²-(2n+1)²=4n²+12n+9-4n²-4n-1=8n+8=8(n+1) , zatem ta liczba jest podzielna przez osiem, ponieważ iloczyn 8 i dowolnej liczby zawsze da liczbę podzielną przez 8