Question

Un día compre 5 libretas y 8 bolígrafos y pagué 24€. Al día siguiente compré 8 libretas y 5 bolígrafos y pagué 20,85€. ¿Cuánto pagaré otro día por 2 libretas y 3 bolígrafos? ​

Answer 1

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El precio de una libreta es de 1.2 euros y el precio de un bolígrafo es de 2.25 euros. Luego por 2 libretas y 3 bolígrafos se pagarán 9.15 euros

Solución

Sabemos que por cinco libretas y ocho bolígrafos se pagó un total de 24 euros

Y conocemos que por ocho libretas y cinco bolígrafos a los mismos valores se abonó un total de 20.85 euros

Donde se desea saber cuánto se deberá pagar por la compra de 2 libretas y 3 bolígrafos

Luego para poder determinar el monto de la futura compra debemos hallar el precio de cada uno de los artículos

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Determinándolas con las dos compras que ya se han efectuado

Llamamos variable x al precio de una libreta y variable y al precio de un bolígrafo

Planteamos un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para establecer la primera ecuación sumamos 5 libretas y 8 bolígrafos y la igualamos al importe pagado por la primera compra realizada de 24 Euros

[tex]\large\boxed {\bold {5 x \ +\ 8y = 24 }}[/tex]         [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]

Luego para establecer la segunda ecuación sumamos 8 libretas y 5 bolígrafos y la igualamos al importe abonado para la segunda compra realizada al día siguiente de 20.85 Euros

[tex]\large\boxed {\bold {8x \ + \ 5y =20.85 }}[/tex]      [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]

Luego despejamos x en la primera ecuación

En  [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {5 x \ +\ 8y = 24 }}[/tex]

Despejamos x

[tex]\boxed {\bold {5 x = 24 -\ 8y }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { \frac{\not5x}{\not5} = \frac{24}{5} -\ \frac{8y}{5} }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x = \frac{24}{5} -\ \frac{8y}{5} }}[/tex]          [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x = \frac{24}{5} -\ \frac{8y}{5} }}[/tex]

[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {8x \ + \ 5y =20.85 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {8 \ . \left(\frac{24}{5} -\frac{8y}{5} \right) \ +\ 5y = 20.85 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {\frac{192}{5} -\frac{64y}{5} \ +\ 5y = 20.85 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {\frac{192}{5} -\frac{64y}{5} \ +\ 5y\ . \ \frac{5}{5} = 20.85 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {\frac{192}{5} -\frac{64y}{5} \ +\ \frac{25y}{5} = 20.85}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {\frac{192}{5} \ -\ \frac{39y}{5} = 20.85 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { -\frac{39y}{5} = 20.85-\frac{192}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { -\frac{39y}{5} = 20.85\ . \ \frac{5}{5} -\frac{192}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { -\frac{39y}{5} = \frac{104.25}{5} -\frac{192}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {- \frac{39y}{5} = -\frac{87.75}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {- \frac{39y}{5} \ . \ (-1) = -\frac{87.75}{5} \ . \ (-1) }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { \frac{39y}{5} = \frac{87.75}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {\frac{\not5}{\not39} \ . \ \frac{\not39y}{\not5} =\frac{5}{39} \ . \ \frac{87.75}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {y =\frac{\not 5}{39} \ . \ \frac{87.75}{\not5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {y =\frac{87.75}{39} }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y = 2.25 }}[/tex]

El precio de un bolígrafo es de 2.25 euros

Hallamos el precio de una libreta

Reemplazando el valor hallado de y en

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x = \frac{24}{5} -\ \frac{8y}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x = \frac{24}{5} -\ \frac{8 \ . \ 2.25}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x = \frac{24}{5} -\ \frac{18}{5} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x = \frac{6}{5} }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x = 1.2 }}[/tex]

El precio de una libreta es de 1.2 euros

Determinamos cuánto se debe abonar por 2 libretas y 3 bolígrafos

[tex]\bold{libreta = x = 1.2}[/tex]

[tex]\bold{boligrafo= y = 2.25}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { Monto \ a \ Pagar=2x \ + \ 3y }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { Monto \ a \ Pagar=2 \ . \ 1.2 \ + \ 3\ . \ 2.25 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { Monto \ a \ Pagar= 2.4 \ + 6.75 }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { Monto \ a \ Pagar= 9.15 }}[/tex]

Luego por 2 libretas y 3 bolígrafos se pagarán 9.15 euros

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {5 x \ +\ 8y = 24 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {5 \ libretas\ .\ 1.2 \ euros \ +\ 8 \ boligrafos\ . \ 2.25 \ euros = 24\ euros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {6\ euros \ + 18 \ euros = 24 \ euros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {24\ euros = 24 \ euros }}[/tex]

[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {8x \ + \ 5y =20.85 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {8 \ libretas\ .\ 1.2 \ euros \ +\ 5 \ boligrafos\ . \ 2.25 \ euros = 20.85\ euros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {9.6 \ euros \ +11.25 \ euros = 20.85 \ euros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {20.85 \ euros = 20.85 \ euros }}[/tex]

[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]