Question

Udowodnij ze wynik tergo dzielenia jest liczbą calkowitą

\frac{ 1^{1994+ 2^{1995}+ 3^{1996} } }{5}

Z góry dziękuję :D
P.S. Proszę o jakieś obliczenia i wytłumaczenie :)

Answer 1

Nalezy ustalic cyfre jednosci w liczniku.
Dla 1 do dowolnej potegi cyfra jednosci 1
Cyfry jednosci kolejnych poteg 2, to 2,4,8,6  powtarzaja sie w cyklu 4 cyfr.
1995=4*k+3   tutaj cyfra jednosci 8  (trzecia z cyklu)
Cyfry jednosci kolejnych poteg 3, to 3,9,7,1 powtarzaja sie w cyklu 4 cyfr
1996=4m tutaj cyfra jednosci 1 (czwarta z cyklu)
1+8+1=10 - licznik jest podzielny przez 5.

Cyfra jednosci licznika jest rowna 0, z tego wynika że iloraz jest cyfra calkowita.

Answer 2

Liczba jest podzielna przez 5 kiedy kończy się na 0 lub 5.

Interesuje nas zatem tylko ostatnia cyfra tego dodawania:
1^1994 = 1

2^1995 = 
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
Widzimy ze tutaj sie to zaczyna powtarzać (2,4,8,6... 2,4,8,6)
Wla potęgi 1995, 1995/4 = 498 i 3/4 czyli to bedzie 8

3^1996
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
3^6 = 729
Tutaj dokładnie to samo (3,9,7,1...3,9,7,1)
1996 / 4 = 499 wiec jest to 4 cyfra wiec 1

Dodawanie: 1+8+1 = 10... ostatnia cyfra to 0

Podane równanie jest podzielne przez 5 bo jego ostatnią cyfrą jest 0