Question

Udowodnij własności wartości bezwzględnej:

a) |a| = |-a|
b) |a · b| = |a| · |b|
c) a ≤ |a|
d) -|a| ≤ a

Trzeba rozpatrzeć różne przypadki i proszę nie pisać - to jest oczywiste, bo to wiem, ale jak to udowodnić?

Answer 1

Z definicji wartosci bezwzglednej:
|a|=a dla a≥0
|a|=-a dla a<0
a)
dla a≥0
|a|=|-a|
a=-(-a)
a=a
dla a<0
|a|=-a
-a=-a
b)
dla a*b≥0
|a*b|=|a|*|b|
a*b=a*b  
lub  
a*b=-a*(-b)
ab=ab
dla a*b<0
|a*b|=|a|*|b|
-ab=-a*b
-ab=-ab
lub
-ab=a*(-b)
-ab=-ab
c)
dla a≥0
a≤a
dla a<0
a≤-a
a<0 i -a>0
d)
dla a≥0
-a≤a
dla a<0
-(-a)≤a
a≤a