Question

Udowodnij, że wyrażenie:
3 ^(4n+2) + 5 ^(2n+1)
jest podzielne przez 14 (indukcja matematyczna)

Answer 1

Wyrażenie jest podzielne przez 14 jeśli można je zapisać w postaci:
3 ^(4n+2) + 5 ^(2n+1)=14t, gdzie t należy do N ( liczb naturalnych)

(1) Sprawdzam wyrażenie dla n=0:
3 ^(4n+2) + 5 ^(2n+1)=3 ^(4*0+2) + 5 ^(2*0+1)=3 ^(2) + 5 ^(1)=9+5=14=14*1 , czyli dzieli się przez 14

(2)Założenie:
Zakładam, że wyrażenie dzieli się przez 14 dla każdej liczby naturalnej n=k, czyli:
3 ^(4k+2) + 5 ^(2k+1)=14t , t należy do N
stąd: 3 ^(4k+2) =14t-5 ^(2k+1) (***)

(3)Teza:
Wyrażenie dzieli się przez 14 dla każdej liczby naturalnej n=k+1, czyli
3 ^(4(k+1)+2) + 5 ^(2(k+1)+1)=14s, gdzie s należy do N

Dowód
3 ^(4(k+1)+2) + 5 ^(2(k+1)+1)=3 ^(4k+4+2) + 5 ^(2k+2+1)=3 ^(4k+2)*3^(4) +
5 ^(2k+1)*5^(2)= 81*3 ^(4k+2) + 25*5 ^(2k+1)=
={korzystamy z wyrażenia (***) }=
=81*[14t-5 ^(2k+1)]+25*5 ^(2k+1)=81*14t-81*5 ^(2k+1)+25*5 ^(2k+1)=
=81*14t+5 ^(2k+1)*(-81+25)=81*14t+56*5 ^(2k+1)=14[81t+4*5 ^(2k+1)]= 14s
( bo każda liczba w nawiasie kwadratowym jest liczbą naturalną , więc ich suma też jest liczbą naturalną )

Udowodniliśmy, że wyrażenie które jest podzielne przez 14 dla liczby naturalnej k, jest również podzielne przez 14 dla liczby k+1, stąd wniosek , że jest podzielne przez 14 dla dowolnej liczny naturalnej.


voila!