Question

Udowodnij, że jeśli od liczby trzycyfrowej niepodzielnej przez 10 odejmiemy liczbę zapisaną tymi samymi cyframi, ale w odwrotnej kolejności, to otrzymana różnica będzie podzielna przez 9

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Liczbę 3-cyfrową możemy zapisać w postaci x₂x₁x₀, gdzie x₂ to liczba setek, x₁ to liczba dziesiątek, x₀ to liczba jedności, np. dla liczby 547:

x₂ = 5, x₁ = 4, x₀ = 7

Liczbę taką można zapisać jako sumę potęg liczby 10 (ponieważ używamy 10-tnego systemu liczbowego):

547 = 500 + 40 + 7

547 = 5*10² + 4*10¹ + 7*10⁰

Przykładowa liczba 3-cyfrowa 'abc', która nie jest podzielna przez 10 to liczba, której ostatnia cyfra jest różna od zera:

100a + 10b + c

odwrotność liczby 'abc' to liczba 'cba':

100c + 10b  + a

Odejmując liczbę cba od abc otrzymamy liczbę x:

x = abc - cba

x = 100a + 10b + c - (100c + 10b + a)

x = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a

x = 99a + 0b -99c

x = 99a - 99c

możemy wyłączyć 9 przez nawias:

x = 99a - 99c = 9(11a - 11c)

więc liczba x jest podzielna przez 9

Answer 2

100x + 10y + z  - liczba trzycyfrowa postaci xyz

x - liczba setek

y - liczba dziesiątek

z - liczba jedności

100z + 10y + x  - liczba trzycyfrowa postaci zyx (liczba zapisana w odwrotnej kolejności niż xyz)

z - liczba setek

y - liczba dziesiątek

x - liczba jedności

Różnica tych liczb:

100x + 10y + z - (100z + 10y +x) = 100x + 10y + z - 100z - 10y - x =

= 99x -99z = 99(x - z) = 9 · 11(x - z)

Jednym z czynników jest liczba 9, zatem otrzymana różnica  jest podzielna przez 9.

c.n.u.