Question

Udowodnij, że jeśli dwa kąty trójkąta są równe, to jest on równoramienny. Dziękuję z góry.

Answer 1

Jeśli dwa kąty trójkąta są równe, to znaczy, że dwie z trzech boków są równe. Niech a, b, c będą bokami trójkąta, a kąty przy bokach a i b będą równe. Bez straty ogólności, można założyć, że a = b.

Wtedy, z nierówności trójkąta wynika, że a + b > c, czyli 2a > c.

Z drugiej strony, z twierdzenia o kątach w trójkącie wynika, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni. Zatem trzeci kąt, który nie jest równy kątom przy bokach a i b, wynosi:

180 stopni - 2 * kąt równy przy boku a (lub b) > 0.

Stąd wynika, że trzeci kąt jest mniejszy od 180/3 = 60 stopni.

Oznacza to, że trzeci bok c jest mniejszy od 2a, a zatem równy bokom a i b. Trójkąt o bokach a = b i c jest trójkątem równoramiennym.

Zatem, jeśli dwa kąty trójkąta są równe, to trójkąt jest równoramienny.