Question

Twierdzenie cosinusów

1. Wykaż że trójkąt o bokach długości 10,7,5 jest rozwartokątny.

2.Dwa boki trójkąta mają długość 4 i 5 a kąt trójkąta leżący między tymi bokami jest równy 60 stopni. Oblicz dlugość trzeciego boku tego trójkąta.

3. Boki trójkąta ABC mają długość IABI=8, IBCI=4, IACI=6. Oblicz długość środkowej AD.

Answer 1

1) Wg Twierdzenia Pitagorasa, suma kwadratów boków przyprostokątnych musi być równa kwadratowi przeciwprostokątny (aby był to trójkąt prostokątny).
Twierdzenie : a^2+b^2=c^2 
Jeżeli suma (a^2 +b^2) jest mniejsza niż przyprostokątna (c^2) to jest to trójkąt rozwartokątny (jeżeli suma jest większa - trójkąt ostrokątny)

*przykład , narysuj trójkąt o bokach 1, 1, 1.8 - otrzymasz rozwartokątny

5^2 + 7^2  =  25+35 =60 <10^2 
Suma przyprostokątnych jest mniejsza zatem  jest to trójkąt rozwartokątny  .
  
2.  Jak już sama napisałaś przyda się twierdzenie cosinusów (przepraszam za brak rysunku, chwilowy brak skanera)
a - szukany trzeci bok
b- 4
c - 5
cosL = cos60 = 1/2
a^2 =b^2+c^2 -2bc x cosL
a^2 = 4^2 + 5^2 - 2x4x5x1/2 (2 i 1/2 się skraca, zostaje 4x5=20)
a^2 = 16 + 25 - 20
a^2 = 21
a = pierwiastek z 21

3)Narysuj sobie rysunek, w celu wyjaśnienia. 
*w punkcie C zrób kąt  alfa (L) , D zaznacz na boku BC (AD nie może być prostopadła do boku)

1. Za pomocą wszystkich boków trójkąta ABC wyznaczymy kąt L  
a musi być naprzeciwko kątu, czyli bok AB  = 8 = a
b i c , to są pozostałe, kolejność nie ma znaczenia : b=4 ; c=6
zgodnie z tw. cosinusa obliczamy cos(L)
a^2=b^2+c^2 - 2bc x cos(L)  <podstawiamy a,b,c>
8^2=4^2+6^2 - 2x4x6xcos(L)
62 = 16+36 - 48(cos(L)  <cos(L) na lewo, liczby na prawo>
48cos(L)= -10/ :48
cos(L) = -5/24 (trójkąt rozwartokątny - zgodnie z cosinusoidą, dostępną na google :) )

2. Mamy wyznaczony cos(L) , aby wyznaczyć środkową AD (zaznaczymy zaraz jako a), mamy już 3 dane : b=2 (połowa BC),  AC =6 (c) i  cos(L) = -5/24 
Ponownie skorzystamy z tw. cosinusa 
a^2=b^2+c^2 - 2bc x cos(L)  <podstawiamy cos(L),b,c>  ; a=AD (szukana odpowiedź)
a^2=4+36 -2x2x6x(-5/24) 
a^2=45
a^2=45
a = 3pierwiastek z 5 ( 3*5)  - |AD|

To wszystko, mam nadzieję że pomogłem :) 
*nie powinno być błędu rachunkowego, ale gdyby się pojawił to przepraszam :)
Pozdrawiam:)