Question

Trójkąt abc jest równoramienny oraz |ac|=|CB|=5cm. Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Kąt AOC ma miarę 120⁰. Jaką długość ma bok AB? Napisz obliczenia !

Answer 1

Kąty naprzeciwległe:
|FOB| = |DOA|
|BOE| = |COD|
|FOC| = |EOA|

Ponieważ O jest środkiem okręgu wpisanego to odległości od wszystkich trzech boków są równe sobie (to są promienie tego okręgu).
|FO| = |DO| = |EO|

Ponieważ trójkąt ABC jest symetryczny względem prostej AF, która jest jego wysokością (dzieje się tak dlatego, że jest równoramienny), mamy:
|FOC| = |FOB|
|COD| = |BOE|
|EOA| = |DOA|

Dtąd mamy:
α = |FOC| = |FOB| = |EOA| = |DOA|
β = |COD| = |BOE|

α + β = 120
2α + β = 180

od drugiego równania odejmujemy pierwsze
α = 60
β = 60
β = α

Wobec tego trójkąty FOB, DOA, BOE, COD, FOC, EOA są przystające. Stąd wniosek, że przystające są również AOB, AOC, BOC. Dlatego trójkąt jest równoboczny i:

|BC| = 5