Tolong cepet gaes. thanks.... Question from @Ayunin

November 2018 1 76 Report

Tolong cepet gaes. thanks

naufik Melalui konsep persamaan kuadrat, maka akar-akar dari persamaan tersebut bisa ditulis dalam bentuk faktor, dan nilai dari a dan b bisa ditulis sebagai hasil penjumlahan dan hasil perkalian dari akar-akarnya, atau dalam bentuk rumus:
$x^2 + ax + b = 0 \Longleftrightarrow (x-\alpha)(x-\beta) = 0 \implies \\ \\
a = -(\alpha + \beta), \ b = \alpha\beta$

Dengan menulis a dan b sebagai rumus dari alpha dan beta di atas, maka kita bisa menulis bahwa yang ditanyakan soal adalah:
$a^2 - b^2 = (-(\alpha+\beta))^2 - (\alpha\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - \alpha^2 \beta^2$

Nah, nilai dari alpha + beta dan alpha * beta bisa dicari dengan menggunakan informasi yang diberikan di soal:

Petunjuk pertama:
$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = 6$
Faktorkan $\alpha\beta$
$\alpha\beta(\alpha+\beta) = 6$

Namun, mengetahui ini saja tidak cukup untuk mendapatkan jawaban, maka gunakan petunjuk kedua:
$\alpha^{-1}+\beta^{-1} = \dfrac{3}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{\alpha^{-1}+\beta^{-1}} = \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}} = \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{1}{\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}} = \frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta} = \frac{2}{3}$

Jadi, sudah bisa didapat 2 informasi penting, yaitu:
$\boxed{\alpha\beta(\alpha+\beta) = 6}$

$\displaystyle \boxed{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta} = \frac{2}{3}}$

Pertama, untuk mencari nilai b kuadrat:
$\displaystyle b^2 =(\alpha\beta)^2 = \alpha\beta(\alpha+\beta) \times \frac{\alpha\beta}{\alpha + \beta}$
Bisa dilihat, kedua hasil perkalian diatas bisa disubstitusikan dengan petunjuk yang sudah kita dapat sehingga:
$b^2 = 6 \times \frac{2}{3} = 4$

Untuk mencari nilai a^2:
$\displaystyle a^2 = (\alpha+\beta)^2 = \frac{(\alpha\beta(\alpha+\beta))^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha\beta(\alpha+\beta))^2}{b^2}$

Berdasarkan 'informasi penting yang kita dapat tadi, kita dapat menemukan nilai dari $\alpha\beta(\alpha+\beta)$ ,dan $\alpha\beta = b$ , serta kita sudah menemukan nilai dari b kuadrat sehingga tinggal disubstitusikan saja:
$\displaystyle a^2 =\frac{(\alpha\beta(\alpha+\beta))^2}{b^2}= \frac{6^2}{4} = \frac{36}{4} = 9$

Sehingga;
$\boxed{a^2 - b^2 = 9 - 4 = \underline{5}}$

0 votes Thanks 1

Ayunin makasih banyak