Tolong bantuin saya ya?Ini soal Integral. Lagi belajar buat persiapan UN Februari nanti nih... 1). .... Question from @honeymarhaeny

October 2018 1 94 Report

Tolong bantuin saya ya?
Ini soal Integral. Lagi belajar buat persiapan UN Februari nanti nih...
1). $\int\limits {x \sqrt{4x+1} } \, dx$
2). $\int\limits {x^{2} \sqrt{1-x} } \, dx$

Tolong disertai cara pengerjaannya juga ya?
Terima kasih .

Takamori37 Gunakan integral parsial dengan:
$\boxed{\int U\,dV&=UV-\int V\, dU}$

Nomor 1.
Dengan:
U = x
dV = $\sqrt{4x+1}\, dx$
Tentu:
dU = dx
V = $\displaystyle \int dV\, dx= \frac{(4x+1)^{3/2}}{6}$
Jadikan:
$$\begin{align}\int x\sqrt{4x+1}\, dx&=\frac x6(4x+1)^{3/2}-\int \frac16(4x+1)^{3/2}\, dx \\ &=\frac x6(4x+1)^{3/2}-\frac16\times\frac{1}{4\times5/2}(4x+1)^{5/2}+C \\ &=\frac x6(4x+1)^{3/2}-\frac1{60}(4x+1)^{5/2}+C \\ &=\frac1{60}(4x+1)^{3/2}(10x-(4x+1))+C \\ &=\frac1{60}(6x+1)(4x+1)^{3/2}+C \end{align}$

Nomor 2.
Lebih mudah dengan menggunakan tabel parsial.
$\begin{tabular}{|c|c||c|l|}&Turunkan&&Integralkan \\ U&$x^2$&dV&$\sqrt{1-x}$ \\ dU&$(-)2x$&V&$-\frac23(1-x)^{3/2}=\frac{-1}{3/2}(1-x)^{3/2}$ \\ $d^2U$&2&\int V&$\frac4{15}(1-x)^{5/2}=\frac{(-1)}{3/2}.\frac{(-1)}{5/2}(1-x)^{5/2}$ \\ $d^3U$&(-)0&\int\int V&$-\frac8{105}(1-x)^{7/2}=\frac{(-1)}{3/2}.\frac{(-1)}{5/2}.\frac{(-1)}{7/2}(1-x)^{7/2} \end{tabular}$
Selesaikan sehingga:
$$\begin{align}\int x^2\sqrt{1-x}\, dx&=-\frac23x^2(1-x)^{3/2}-\frac8{15}x(1-x)^{5/2}-\frac{16}{105}(1-x)^{7/2} \\ &=-\frac2{105}(1-x)^{3/2}(35x^2+28x(1-x)+8(1-x)^2) \\ &=-\frac2{105}(1-x)^{3/2}(35x^2+28x-28x^2+8-16x+8x^2) \\ &=-\frac2{105}(15x^2+12x+8)(1-x)^{3/2}+C\end{align}$

honeymarhaeny Untuk nomor 2 kenapa harus menggunakan tabel? Bagaimana bila menggunakan cara parsial biasa Barusan saya coba menghitung dengan cara parsial biasa dan jawabannya hanya sampai (1-x)^5/2 saja.

honeymarhaeny kenapa bisa beda ya?

Takamori37 Karena setelah diparsial, masih ada cukup banyak integral yang diparsialkan lagi. Maka dari itu, untuk mempermudah dengan menggunakan tabel