Question

Odcinki AB i CD przecinają się w punkcie P, różnym od końców odcinków AB i CD. Wykaż że jeśli /PB/*/PA/ = /PD/*/PC/, to punkty A,C,B i D należą do pewnego okręgu.
Jest to związane z twierdzeniem o odcinkach siecznych.

Answer 1

Dzielimy najpierw równość stronami przez PA*PC
Dostajemy

Dokładając do tego, że kąty APD i BPC są tej samej miary jako kąty wierzchołkowe dostajemy, że trójkąty APD i BPC są podobne.
Czyli mamy


teraz dzielimy początkową równość przez PB*PC i dostajemy
i znowu mamy równość kąta przy wierzchołku P i dostajemy, że trójkąty PAC i PBD są podobne i znowu dostajemy równość miar kątów


Pozostaje pokazać, że faktycznie suma naprzeciwległych kątów czworokąta ADBC wynosi 180 stopni,
Najpierw zauważamy, że suma wszystkich kątów w czworokącie wynosi 360 stopni
Czyli

Wstawiając równości mamy



Dla ułatwienia załączam rysunek z zamalowanymi równymi kątami