Hej!! Potrzebuję pomocy w trzech zadaniach z trygonometrii zad.1 Sprawdź, czy dla α należy ( 0 stopn.... Question from @szymcio678

September 2018 1 42 Report

Hej!! Potrzebuję pomocy w trzech zadaniach z trygonometrii

zad.1 Sprawdź, czy dla α należy ( 0 stopni, 90 stopni) podana równość jest tożsamością trygonometryczną: (1-cos α) ( 1/sin α+1/tg α)=sinα

zad.2 W trójkącie prostokątnym a,b oznaczają długości przyprostokątnych , c jest przeciwprostokątną i oznacza miarę długości kata leżącego naprzeciw przyprostokątnej długości a. Wiedząc, że sin α = pierwiastek z 7 przez 4 oblicz: a) cosinus α b) wartość wyrażenia b do kwadratu przez a do kwadratu + c do kwadratu...

zad.3 Dane jest wyrażenie cos alfa do kwadratu + cos alfa * ctg alfa do kwadratu, gdzie alfa należy do przedziału między 0 stopni a 90 stopni

a) wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego alfa dane wyrażenie równa się ctg alfa przez sin alfa

b) oblicz wartość tego wyrażenia dla alfa równego 30 stopni

Roma

Zad. 1

α ∈ (0°; 90°)

$(1-cos \alpha) (\frac{1}{sin \alpha}+\frac{1}{tg \alpha}) = (1-cos \alpha) (\frac{1}{sin \alpha}+\frac{1}{\frac{sin \alpha}{cos \alpha}}) =$

$= (1-cos \alpha) (\frac{1}{sin \alpha}+\frac{cos \alpha}{sin \alpha}) =(1-cos \alpha) (\frac{1 +cos \alpha}{sin \alpha}) =$

$=(1-cos \alpha) (\frac{1 +cos \alpha}{sin \alpha}) =\frac{1 +cos \alpha}{sin \alpha} - \frac{cos \alpha(1 +cos \alpha)}{sin \alpha} =$

$=\frac{1 +cos \alpha}{sin \alpha} - \frac{cos \alpha +cos^2 \alpha}{sin \alpha} = \frac{1 +cos \alpha- (cos \alpha +cos^2 \alpha)}{sin \alpha} =$

$= \frac{1 +cos \alpha- cos \alpha -cos^2 \alpha}{sin \alpha} =\frac{1 -cos^2 \alpha}{sin \alpha} =\frac{sin^2 \alpha}{sin \alpha} = sin \alpha$

Zad. 2

a, b - długości przyprostokątnych

c - długość przeciwprostokątnej

α - miara długości kata leżącego naprzeciw przyprostokątnej długości a

$sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej":

$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$

Stąd:

$(\frac{\sqrt{7}}{4})^2 + cos^2 \alpha = 1$

$\frac{7}{16} + cos^2 \alpha = 1$

$cos^2 \alpha = 1-\frac{7}{16}$

$cos^2 \alpha = \frac{9}{16}$

α < 90° (α - kąt ostry w trójkącie prostokątem), zatem:

$cos \alpha = \frac{3}{4}$

Wyznaczamy a, b:

$sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} \wedge sin \alpha = \frac{a}{c}$

Stąd:

$\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{7}}{4} \ / \cdot c$

$a = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot c$

$cos \alpha = \frac{3}{4} \wedge cos \alpha = \frac{b}{c}$

Stąd:

$\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{7}}{4} \ / \cdot c$

$b = \frac{3}{4} \cdot c$

$\frac{b^2}{a^2 + c^2} = \frac{(\frac{3}{4} \cdot c)^2}{(\frac{\sqrt{7}}{4} \cdot c)^2 + c^2} = \frac{\frac{9c^2}{16}}{\frac{7c^2}{16} + c^2} = \frac{\frac{9c^2}{16}}{\frac{23c^2}{16}} = \frac{9c^2}{16} \ : \ \frac{23c^2}{16} =$

$= \frac{9c^2}{16} \cdot \frac{16}{23c^2} =\frac{9}{23}$

Zad. 3

α ∈ (0°; 90°)

$(cos \alpha)^2 + cos \alpha \cdot (ctg \alpha)^2$ to wyrażenie nie jest równe $\frac{ctg \alpha}{sin \alpha}$

$cos \alpha + cos \alpha \cdot (ctg \alpha)^2 = cos \alpha [1 + (ctg \alpha)^2] = cos \alpha (1 + \frac{(cos \alpha)^2}{(sin \alpha)^2}) =$

$= cos \alpha (\frac{(sin \alpha)^2}{(sin \alpha)^2} + \frac{(cos \alpha)^2}{(sin \alpha)^2}) = cos \alpha \cdot \frac{sin^2 \alpha + cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = cos \alpha \cdot \frac{1}{sin^2 \alpha} =$

$= \frac{cos \alpha}{sin^2 \alpha} = \frac{cos \alpha}{sin \alpha \cdot sin \alpha} = \frac{ cos \alpha}{sin \alpha} \cdot \frac{1}{sin \alpha} = ctg \alpha \cdot \frac{1}{sin \alpha} = \frac{ctg \alpha}{sin \alpha}$

α = 30°

$cos \alpha + cos \alpha \cdot (ctg \alpha)^2 = cos 30^o + cos 30^o \cdot (ctg 30^o)^2 =$

$=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$\frac{ctg \alpha}{sin \alpha} = \frac{ctg 30^o}{sin 30^o} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2} } = \sqrt{3} \ : \ \frac{1}{2} = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$