Turunan Trigonometri kelas XIIi. [tex] \frac{ \csc(x) }{1 + \cot(x) } [/tex]j. [tex] \frac{ \tan(x) .... Question from @Jap21

October 2020 1 67 Report

Turunan Trigonometri kelas XII

i.
[tex] \frac{ \csc(x) }{1 + \cot(x) } [/tex]

j.
[tex] \frac{ \tan(x) - 1}{ \sec(x) } [/tex]

diorama

$\sf i.\ Turunan\ dari\ \frac{\csc x}{1+\cot x}\ adalah\ \boxed{\sf \frac{-\cot x\csc x(1+\cot x)+\csc^3 x}{(1+\cot x)^{2}}}\\\\\sf j.\ Turunan\ dari\ \frac{\tan x-1}{\sec x}\ adalah\ \boxed{\sf \cos x + \sin x}$

PEMBAHASAN

Turunan atau Derivatif merupakan pengukuran terhadap fungsi yang bagaimana akan berubah seiring perubahan nilai input.

Definisi dari turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca " f aksen") yang nilainya pada sebarang nilai c adalah

$f'(c)= \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

Asalkan limitnya ada

Dari definisi tersebut memunculkan aturan-aturan sebagai berikut :

$1.\ f(x)=k\ \ \to\ \ f'(x)=0,\ \ k:konstanta \\2.\ f(x)=x\ \ \to\ \ f'(x)=1\\3.\ f(x)=x^n\ \ \to\ \ f'(x)=nx^{n-1}\\4.\ h(x)=kf(x)\ \ \to\ \ h'(x)=kf'(x)\\5.\ h(x)=f(x)+g(x)\ \ \to\ \ h'(x)=f'(x)+g'(x)\\6.\ h(x)=f(x)-g(x)\ \ \to\ \ h'(x)=f'(x)-g'(x)\\7.\ h(x)=f(x).g(x)\ \ \to\ \ h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\8.\ h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \ \to\ \ h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

Aturan turunan fungsi trigonometri yang berhubungan dengan kasus

$f(x)=\csc g(x)\ \to\ f'(x)=-g'(x)\cot g(x)\csc g(x)\\f(x)=\cot g(x)\ \to\ f'(x)=-g'(x)\csc^2 g(x)\\f(x)=\tan g(x)\ \to\ f'(x)=g'(x)\sec^2 g(x)\\f(x)=\sec g(x)\ \to\ f'(x)=g'(x)\sec g(x)\tan g(x)$

DIKETAHUI

$i.\ \frac{\csc x}{1+\cot x}\\\\j.\ \frac{\tan x-1}{\sec x}$

DITANYA

Tentukan turunannya

PENYELESAIAN

$i.\ \frac{\csc x}{1+\cot x}$

Gunakan aturan turunan yang telah disebutkan

$f(x)=\frac{\csc x}{1+\cot x}\\\\f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}(\csc x).(1+\cot x)-(\csc x).\frac{d}{dx}(1+\cot x)}{(1+\cot x)^{2}}\\\\f'(x)=\frac{(-\cot x\csc x).(1+\cot x)-(\csc x).(0-\csc^2 x)}{(1+\cot x)^{2}}\\\\f'(x)=\frac{-\cot x\csc x(1+\cot x)+\csc^3 x}{(1+\cot x)^{2}}$

$\sf Jadi,\ turunan\ dari\ \frac{\csc x}{1+\cot x}\ adalah\ \boxed{\sf \frac{-\cot x\csc x(1+\cot x)+\csc^3 x}{(1+\cot x)^{2}}}$

$j.\ \frac{\tan x-1}{\sec x}$

Gunakan aturan turunan yang telah disebutkan

$f(x)=\frac{\tan x-1}{\sec x}\\\\f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}(\tan x-1).(\sec x)-(\tan x-1).\frac{d}{dx}(\sec x)}{(\sec x)^{2}}\\\\f'(x)=\frac{(\sec^2 x-0).(\sec x)-(\tan x-1).(\sec x\tan x)}{(\sec x)^{2}}\\\\f'(x)=\frac{(\sec^2 x).(\sec x)-\sec x\tan^2 x+\sec x\tan x }{(\sec x)^{2}}\\\\f'(x)=\frac{\sec^2 x-\tan^2 x+\tan x }{\sec x}\\\\f'(x)=\frac{1+\tan x }{\sec x}\\\\f'(x)=\frac{1}{\sec x}+\frac{\tan x }{\sec x}\\\\f'(x)=\cos x + \sin x$