Oblicz: [tex]$\int\limits^2_{\frac{1}{2} } {\frac{\mathrm{arctg}(x)}{x^2-x+1} } \, \mathrm{d}x$[/tex.... Question from @lukaszch07p2rzss

June 2022 1 12 Report

Oblicz:

[tex]$\int\limits^2_{\frac{1}{2} } {\frac{\mathrm{arctg}(x)}{x^2-x+1} } \, \mathrm{d}x$[/tex]

Rozwiązanie przedstawić w postaci algebraicznej (bez metod numerycznych).

Odpowiedź:
[tex]$\frac{\pi^2\sqrt{3} }{18} $[/tex]

Aerrus

Odpowiedź:

$\frac{\pi^2\sqrt{3}}{18}$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Ciekawe granice całkowania i równość $\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \frac{1}{\tan x} \implies \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$

naprowadzają nas na podstawienie $u = \frac{1}{x}$ . $\mathrm{d} x = -\frac{\mathrm{d} u}{u^2}$ . Zatem:

$I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\arctan x}{x^2-x+1} \mathrm{d} x = \int_{u = 2}^{u=\frac{1}{2}}\frac{\arctan \frac{1}{u}} {\frac{1}{u^2}-\frac{1}{u}+1} \cdot \frac{-1}{u^2} \mathrm{d} u = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\arctan \frac{1}{u}}{u^2-u+1} \mathrm{d} u$

Czyli:

$2I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\arctan x + \arctan \frac{1}{x}}{x^2-x+1} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x^2-x+1} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \mathrm{d} x$

$2I = \frac{\pi}{2} \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan{\frac{2x-1}{\sqrt{3}} \Big|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{\pi \sqrt{3}}{3} (\arctan{\sqrt{3} - \arctan 0) = \frac{\pi \sqrt{3}}{3} \cdor \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2 \sqrt{3}}{9}$

Stąd $I = \frac{\pi^2 \sqrt{3}}{18}$ . Odpowiedź podana przez pytającego jest poprawna.

Oblicz granicę:

Answer

Lukaszch07p2rzss April 2019 | 0 Replies

1. Oblicz granicę.2. Ułamek okresowy 0,(9) zamień na zwykły +wyjaśnienie.

Answer

Oblicz granicę:

1. Oblicz granicę.2. Ułamek okresowy 0,(9) zamień na zwykły +wyjaśnienie.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social