Question

Przekładnia pasowa zbudowana jest z dwóch kół pasowych o średnicach [tex]d_1[/tex] i [tex]d_2[/tex] oraz paska zamkniętego (bezkońcowego). W jakiej odległości od siebie muszą znajdować się osie kół pasowych, by długość paska była równa [tex]L[/tex]? Zakładamy, że pasek jest napięty i nierozciągliwy.

Answer 1

Planimetria - okręgi, proste styczne

długość łuku, twierdzenie Talesa

1. Zaczynamy od rysunku (poniżej) i wprowadzamy zgodnie z nim oznaczenia.
2. Możemy zauważyć, że proste styczne zbiegają się w punkcie [tex]P[/tex], zaś zaznaczone promienie okręgów [tex]d_1 , d_2[/tex] są parami równoległe.
3. Możemy napisać z twierdzenia Talesa, że
   [tex]\; \; [ \; I\; ] \quad \frac{b}{d_1} = \frac{b+x}{d_2}\\\; [ \; II\; ] \quad\frac{a}{d_1} = \frac{a+y}{d_2}[/tex]
4. Z kolei z twierdzenia Pitagorasa
   [tex]a^2 + d_1^2 =b^2[/tex]
5. Wstawiamy [tex][4.][/tex] do [tex][3.I][/tex] dostając
   [tex]\frac{\sqrt{d_1^2 +a^2}}{d_1} = \frac{\sqrt{d_1^2 +a^2}+x}{d_2}\\d_2\sqrt{d_1^2 +a^2}= d_1\left( \sqrt{d_1^2 +a^2} + x \right)[/tex]
6. Następnie przekształcamy [tex][3.II][/tex] do
   [tex]d_2 a = d_1(y+a)\\a = \frac{d_1 y}{d_2-d_1}[/tex]
7. Wstawiamy [tex][6.][/tex] do [tex][5.][/tex] podniesionego do kwadratu[tex]d_2^2 \left(d_1^2 +\left( \frac{d_1 y}{d_2-d_1} \right)^2\right)= d_1^2 \left( \sqrt{d_1^2 +\left( \frac{d_1 y}{d_2-d_1} \right)^2} + x \right)^2[/tex]
   [tex]\frac{d_2}{d_1} = 1 + \frac{x}{\sqrt{d_1^2 \left(1+ \frac{y ^2}{\left(d_2-d_1\right)^2}}} \right)[/tex]
   [tex]\frac{d_2}{d_1} = 1 + \sqrt{ \frac{\left({d_2-d_1})^2x^2}{d_1^2 \left(\left(d_2-d_1\right)^2+ y ^2 \right)} } \right[/tex]
   [tex]1=\sqrt{ \frac{y^2}{ \left(d_2-d_1\right)^2+ x ^2 } }\\\left(d_2-d_1\right)^2+ x ^2 = y^2[/tex]
8. Co można było stwierdzić wprost wykonując przesunięcie prostej stycznej do okręgów o wektor (długości  [tex]d_1[/tex]) wzdłuż promienia okręgu [tex]d_1[/tex] prostopadłego do wybranej stycznej. Tą translacją dostajemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych [tex]x, (d_2-d_1)[/tex] oraz przeciwprostokątnej [tex]y[/tex].
9. Korzystając z trójkąta opisanego powyżej, można wyznaczyć kąt zaznaczony na rysunku jako [tex]\alpha[/tex]
   [tex]\cos \alpha = \frac{d_2 - d_1}{x} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arccos \frac{d_2 - d_1}{x}[/tex]
10. Wtedy długości zaznaczonych łuków to
    [tex]l_1 =\alpha d_1 \quad \quad \quad l_2 =\left(1-\alpha\right) d_2[/tex]
11. Finalnie długość taśmy opisuje
    [tex]L = \left( l_1 +l_2 \right) +x +y=\left(2(d_1-d_2) \arccos \frac{d_2 - d_1}{x} + d_2 \right) +x + \sqrt{\left(d_2-d_1\right)^2+ x ^2}[/tex]
12. Przekształcamy dostając
    [tex]L - d_2 =x + \sqrt{ (d_2 - d_1)^2+ x^2} -2(d_1-d_2) \arccos \frac{d_2 - d_1}{x}\right)[/tex]