Question

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny: [tex]4, 2\sqrt{2} , 2, \sqrt{2}, ...[/tex]
a) Oblicz dziewiąty wyraz tego ciągu.
b) Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu
c) Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]a_1=4\\a_2=2\sqrt{2}\\a_3=2\\...[/tex]

[tex]q=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

a)

[tex]a_9=a_1q^8=4*(\frac{\sqrt{2}}{2})^8=4*\frac{2^4}{2^8}=4*2^{-4}=2^2*2^{-4}=2^{-2}=\frac{1}{4}[/tex]

b)

[tex]S_{10}=4*\frac{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{10}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=4*\frac{1-\frac{2^5}{2^{10}}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=4*\frac{1-2^{-5}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=4*\frac{1-\frac{1}{32}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=4*\frac{\frac{31}{32}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=4*\frac{31}{32}*\frac{2}{2-\sqrt{2}}=1*\frac{31}{8}*\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{31}{4}*\frac{1}{2-\sqrt{2}}=\frac{31}{4}*\frac{1}{2-\sqrt{2}}*\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{31}{4}*\frac{2+\sqrt{2}}{2}=\frac{62+31\sqrt{2}}{8}[/tex]

c)

[tex]S=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=4*\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{8}{2-\sqrt{2}}*\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{8(2+\sqrt{2})}{2}=4(2+\sqrt{2})=8+4\sqrt{2}[/tex]