Question

Diketahui cosec
[tex] \alpha [/tex]
=
[tex] \frac{1}{3} \sqrt{14} [/tex]
tentukan nilai dari cot
[tex] \alpha [/tex]
​

Answer 1

[tex]\begin{aligned}\cot\alpha&=\begin{cases}\vphantom{\Bigg|}\bf\dfrac{1}{3}\sqrt{5}\,,&\textsf{jika\ }\alpha\in\textsf{kuadran I}.\\\vphantom{\Bigg|}\bf{-}\dfrac{1}{3}\sqrt{5}\,,\!\!\!&\textsf{jika\ }\alpha\in\textsf{kuadran II}.\end{cases}\end{aligned}[/tex]
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Trigonometri

Diketahui:
[tex]\begin{aligned}\csc\alpha&=\frac{1}{3}\sqrt{14}\\\end{aligned}[/tex]

Untuk mencari nilai [tex]\cot\alpha[/tex], kita dapat menggunakan identitas trigonometri:

[tex]\begin{aligned}\cot^2\alpha&=\csc^2\alpha-1\\\Rightarrow \cot\alpha&=\pm\sqrt{\csc^2\alpha-1}\end{aligned}[/tex]

Tanda positif atau negatif dari nilai [tex]\cot\alpha[/tex] ditentukan oleh letak [tex]\alpha[/tex] di kuadran berapa.

Karena [tex]\csc\alpha > 0[/tex], maka [tex]\alpha[/tex] berada di kuadran I atau II. Sedangkan jika [tex]\alpha[/tex] berada di kuadran II, nilai [tex]\cos\alpha < 0[/tex] (cosinus, bukan cosec ya).

Karena rentang nilai [tex]\alpha[/tex] tidak diketahui, maka tanda plus-minus untuk nilai [tex]\cot\alpha[/tex] tetap harus disertakan, yang berarti ada dua kemungkinan nilai [tex]\cot\alpha[/tex] dengan nilai mutlak yang sama.

Kita hitung nilainya.

[tex]\begin{aligned}\cot\alpha&=\pm\,\sqrt{\csc^2\alpha-1}\\&=\pm\,\sqrt{\left(\frac{1}{3}\sqrt{14}\right)^2-1}\\&=\pm\,\sqrt{\frac{14}{9}-1}\,=\,\pm\sqrt{\frac{5}{9}}\\\cot\alpha&=\boxed{\,\bf{\pm}\,\frac{1}{3}\sqrt{5}\,}\end{aligned}[/tex]
 
 
[tex]\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}[/tex]