Question

Tentukan himpunan penyelesaian dari :
1. |x-4|^2 - 9 |x-4| +20 > 0
2. 3 < |4x−5| ≤ 11

Answer 1

|x - 4|^2 - 9|x - 4| + 20 > 0

misal, |x - 4| = a

a^2 - 9a + 20 > 0
(a - 4)(a - 5) > 0

a - 4 = 0
a = 4

a - 5 = 0
a = 5

batasnya adalah 4 dan 5

misal, a = 0

(0 - 4)(0 - 5) = (-4)(-5)
= 20
20 > 0

maka, nilai a yang memenuhi adalah :

a < 4 atau a > 5

tentukan nilainya satu-satu

|x - 4| < 4
(x - 4)^2 < 4^2
(x - 4)^2 - 4^2 < 0

ingat, a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
maka :

(x - 4 + 4)(x - 4 - 4) < 0
x(x - 8) < 0

intervalnya 0 < x < 8

|x - 4| > 5
(x - 4)^2 > 5^2
(x - 4)^2 - 5^2 > 0
(x - 4 + 5)(x - 4 - 5) > 0
(x + 1)(x - 9) > 0

interval penyelesaiannya adalah x < -1 atau x > 9

sehingga, interval keseluruhannya adalah :

(x < -1 atau x > 9 ) U ( 0 < x < 8 )

atau bisa dituliskan :

HP = {x | x < -1, 0 < x < 8, x > 9 , x∈R}

=====

3 < |4x - 5| ≤ 11

partisi,

3 < |4x - 5|
3^2 < (4x - 5)^2
(4x - 5 + 3)(4x - 5 - 3) > 0
(4x - 2)(4x - 8) > 0

x = 1/2 atau x = 2
intervalnya :
x < 1/2 atau x > 2

|4x - 5| ≤ 11
(4x - 5)^2 ≤ 11^2
(4x - 5)^2 - 11^2 ≤ 0
(4x - 5 + 11)(4x - 5 - 11) ≤ 0
(4x + 6)(4x - 16) ≤ 0

x = -3/2 atau x = 4
interval penyelesaiannya :
-3/2 ≤ x ≤ 4

sehingga, himpunan penyelesaian keseluruhannya adalah :

( x < 1/2 atau x > 2 ) n (-3/2 ≤ x ≤ 4)

atau bisa ditulis :

{ (-∞, 1/2) U (2, ∞) } n [-3/2 , 4]
HP = [-3/2, 1/2) U (2, 4]
HP = {x | -3/2 ≤ x < 1/2 , 2 < x ≤ 4, x∈R}