tentukan hasil dr limit tsb! jgn jwb asal, g guna, nnti kena hps poin ditarik, gada untungny.... Question from @CutieDumbo

July 2022 1 22 Report

tentukan hasil dr limit tsb!
jgn jwb asal, g guna, nnti kena hps poin ditarik, gada untungny

Nilai dari $\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}} }$ .

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada, maka berarti itulah nilai limitnya.

$\lim\limits_{x \to c} f(x)=f(c)$

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk-bentuk tak tentu :

$\displaystyle{(i).~0\times\infty}$

$\displaystyle{(ii).~\infty-\infty}$

$\displaystyle{(iii).~0^0}$

$\displaystyle{(iv).~1^{\infty}}$

$\displaystyle{(v).~\infty^0}$

Kita harus memodifikasi terlebih dahulu bentuk limitnya sehingga menghasilkan bentuk tak tentu $\displaystyle{\frac{0}{0}~atau~\frac{\infty}{\infty} }$ . Setelah itu nilai limitnya dapat dicari menggunakan aturan l'hospital, dimana:

$\displaystyle{\lim\limits_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to c} \frac{\frac{d}{dx}\left [ f(x) \right ]}{\frac{d}{dx}\left [ g(x) \right ]}=\frac{f'(c)}{g'(c)},~~dengan~f'(c),~g'(c)\neq 0}$

DIKETAHUI

$\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2}= }$

DITANYA

Tentukan nilai limitnya.

PEMBAHASAN

Cek dengan substitusi langsung.

$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} }$

$\displaystyle{= \left ( 1-\frac{5}{\infty} \right )^{\infty} }$

$\displaystyle{= \left ( 1-0 \right )^{\infty} }$

$\displaystyle{=1^{\infty} }$

Karena hasilnya bentuk tak tentu, kita ubah dahulu bentuk limitnya menggunakan logaritma natural.

Misal :

$\displaystyle{A=\lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} }$

$\displaystyle{lnA=ln\left [ \lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} \right ] }$

$\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} ln\left [ \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} \right ] }$

$\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} (x-2)ln\left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right ) }$

$\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{ln\left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )}{\frac{1}{x-2}} }$

Cek dengan substitusi langsung :

$\displaystyle{lnA=\frac{ln\left ( 1-0 \right )}{0} }$

$\displaystyle{lnA=\frac{0}{0} }$

Karena hasilnya bentuk $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ , kita gunakan aturan l'hospital.

$\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{ln\left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )}{\frac{1}{x-2}} }$

$\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}\left [ ln\left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right ) \right ]}{\frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{x-2} \right ]} }$

$\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1-\frac{5}{3x-6}}\left [ 0-\frac{0(3x-6)-5(3)}{(3x-6)^2} \right ]}{\frac{0(x-2)-1(1)}{(x-2)^2}} }$

$\displaystyle{lnA=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3x-6-5}{3x-6}}\left [ \frac{15}{(3x-6)^2} \right ]}{\frac{-1}{(x-2)^2}} }$

$\displaystyle{lnA=-\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{15}{(3x-11)(3x-6)}}{\frac{1}{(x-2)^2}} }$

$\displaystyle{lnA=-\lim_{x \to \infty} \frac{15}{(3x-11)(3x-6)}\times(x-2)^2 }$

$\displaystyle{lnA=-\lim_{x \to \infty} \frac{5(x-2)^2}{(3x-11)(x-2)} }$

$\displaystyle{lnA=-5\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4x+4}{3x^2-17x+22}\times\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} }$

$\displaystyle{lnA=-5\lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}{3-\frac{17}{x}+\frac{22}{x^2}} }$

$\displaystyle{lnA=-5\times\frac{1-0+0}{3-0+0} }$

$\displaystyle{lnA=-\frac{5}{3} }$

$\displaystyle{A=e^{-\frac{5}{3}} }$

$\displaystyle{A=\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}} }$

KESIMPULAN

Nilai dari $\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{5}{3x-6} \right )^{x-2} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}} }$ .